[論文レビュー] Proper connection numbers of complementary graphs

Fei Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフの補グラフの適切な接続数を調べ、Nordhaus-Gaddum型の不等式を確立する。連結な補グラフ $G$ と $\overline{G}$ に対して、和 $pc(G) + pc(\overline{G})$ は $4 \leq pc(G) + pc(\overline{G}) \leq n$ を満たし、上界に等号が成り立つのは最大次数 $n-2$ の木の場合に限る。本研究では、適切な接続数が $n-2$ であるグラフを同定し、これにより接続数の和に対するタイトな上限が得られる。

ABSTRACT

A path $P$ in an edge-colored graph $G$ is called a proper path if no two adjacent edges of $P$ are colored the same, and $G$ is proper connected if every two vertices of $G$ are connected by a proper path in $G$. The proper connection number of a connected graph $G$, denoted by $pc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ proper connected. In this paper, we investigate the proper connection number of the complement of graph $G$ according to some constraints of $G$ itself. Also, we characterize the graphs on $n$ vertices that have proper connection number $n-2$. Using this result, we give a Nordhaus-Gaddum-type theorem for the proper connection number. We prove that if $G$ and $\overline{G}$ are both connected, then $4\le pc(G)+pc(\overline{G})\le n$, and the only graph attaining the upper bound is the tree with maximum degree $Δ=n-2$.

研究の動機と目的

• グラフ $G$ に構造的制約を課したもとで、$G$ の補グラフの適切な接続数を調査すること。
• 適切な接続数が $n-2$ であるすべての $n$ 頂点グラフを同定すること。
• 補グラフの適切な接続数に対してタイトなNordhaus-Gaddum型不等式を確立すること。
• 和 $pc(G) + pc(\overline{G})$ の上界に達する極値グラフを特定すること。

提案手法

• 構造的性質と辺彩色の性質を分析することで、適切な接続数が $n-2$ であるグラフを同定する。
• 適切パス彩色と生成部分グラフに関する既知の結果を用いて、$pc(G)$ と $pc(\overline{G})$ を評価する。
• 適切パス彩色の強い性質を応用し、最小の色数で接続性を保証する。
• 切断頂点の有無に応じた場合分けにより、補グラフ $\overline{G}$ を分析する：切断頂点なし、複数の成分をもつ切断頂点、2つの成分をもつ切断頂点。
• 切断頂点 $u$ について $G - u$ の成分数に基づく場合分けを行い、$\overline{G}$ に含まれる完全 $k$-部グラフに関する結果を適用する。
• 2連結および木部分グラフに対する $pc(H)$ の既知の境界を活用し、$pc(G)$ と $pc(\overline{G})$ の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結な補グラフ $G$ と $\overline{G}$ に対して、$pc(G) + pc(\overline{G})$ の最大値は何か？
• RQ2 $n$ 頂点のグラフで適切な接続数が $n-2$ を達成するのはどのグラフか？
• RQ3 連結な $G$ と $\overline{G}$ に対して、$pc(G) + pc(\overline{G}) = n$ が成り立つ条件は何か？
• RQ4 $G$ に切断頂点が存在する場合、$\overline{G}$ の適切な接続数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 適切な接続数に対してNordhaus-Gaddum型の不等式を確立できるか。もし可能であれば、最もタイトな境界は何か？

主な発見

• 任意の連結な補グラフ $G$ と $\overline{G}$ に対して、和 $pc(G) + pc(\overline{G})$ は下界 $4$ および上界 $n$ で有界である。
• 上界 $pc(G) + pc(\overline{G}) = n$ が成り立つのは、$G$ が最大次数 $n-2$ の木である場合に限る。
• $n \geq 7$ のとき、$G$ が最大次数 $n-2$ の木でなければ $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$ である。
• $G$ に $G - u$ が3つ以上の成分をもつ切断頂点 $u$ が存在するならば、$pc(G) + pc(\overline{G}) < n$ である。
• $G$ に各切断頂点がただ一つの垂れ下がり辺しか持たない場合、$pc(G) \leq 3$ かつ $pc(\overline{G}) \leq \max\{3, n-4\}$ であり、$n \geq 7$ のとき $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$ であり、$n=6$ のときも同様に $< n$ である。
• 適切な接続数が $n-2$ であるグラフの同定は、タイトな上界を証明し、極値ケースを同定するために不可欠である。