[論文レビュー] Proper holomorphic embeddings of Riemann surfaces with arbitrary topology into $\mathbb{C}^2$

Antonio Alarcón, Francisco J. López|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の開リーマン面が、そのトポロジー的複雑さにかかわらず、自身と同相なドメインが ℂ² に正しくヒューリスティックに埋め込まれることを証明している。再帰的な構成により、ブリッジ原理とフォストネリとウールドの技法を組み合わせ、収束するホロモルフィック埋め込みの列を構成し、その極限として正しく埋め込まれる写像を得ている。得られるドメインは、双曲的コンフォーマル型として実現可能である。

ABSTRACT

We prove that given an open Riemann surface $N,$ there exists an open domain $M\subset N$ homeomorphic to $N$ which properly holomorphically embeds in $\mathbb{C}^2.$ Furthermore, $M$ can be chosen with hyperbolic conformal type. In particular, any open orientable surface admits a complex structure properly holomorphically embedding into $\mathbb{C}^2.$

研究の動機と目的

• ベル＝ナラシマンの予想におけるトポロジー的障害を解消し、任意の開リーマン面が、任意のトポロジーを持つドメインとして ℂ² に正しくヒューリスティックに埋め込まれることを示すこと。
• 有限型の表面に関する先行結果を、無限大の genus や非有限生成の基本群をもつ表面を含む任意のトポロジカル型に拡張すること。
• 埋め込まれたドメインのコンフォーラル型（例：双曲的）を、構成過程で保つことの可能性を示すこと。
• 表面が有限型であるか、有限トポロジーを持つ必要がない場合でも、ℙ² への正しくヒューリスティックな埋め込みを構成的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 開リーマン面 𝒩 内のランゲ・コンパクト領域の増大列 {M_n} を用いて、開ドメイン 𝒩 の被覆を得る。
• ブリッジ原理を用いて、各 Y_n: M_n → ℂ² が一意的かつ正しくなるように、再帰的にホロモルフィック埋め込みの列 {Y_n} を定義する。この際、像の位置を ℂ² 内の拡大する球に制御する。
• 各 Y_n が直前のものとホモトープであるように構成し、ホモロジー類を保存することで、極限写像が単射であることを保証する。
• 列 {Y_n} は、増大するドメイン 𝒪 = ∪M_n のコンパクト集合上で一様収束するように選ばれ、ホロモルフィック極限写像 𝒳: 𝒪 → ℂ² に収束する。
• 収束は、減少する誤差項 ϵ_j と ϱ_j を選ぶことで制御され、極限写像が自己埋め込みであり、単射であることを保証する。
• 正しさは、任意のコンパクト集合 K ⊂ ℂ² に対して、𝒳⁻¹(K) が 𝒪 内で相対的にコンパクトであることを示すことによって確立される。これは、𝒳(N_j − N_{j−1}°) が十分大きな球の外側に最終的に位置することを根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の開リーマン面が、そのトポロジー的複雑さにかかわらず、自身と同相なドメインを介して ℂ² に正しくヒューリスティックに埋め込まれるか？
• RQ2 埋め込みの構成過程で、特に双曲的性を含むコンフォーラル型を保てるか？
• RQ3 ℂ² への正しくヒューリスティックな埋め込みの存在が、表面の有限トポロジカル型に依存するか？
• RQ4 一様収束性と単射性を保ちつつ、正しさとホロモルフィック性を維持できるように構成できるか？

主な発見

• 任意の開リーマン面 𝒩 に対して、𝒩 と同相な開ドメイン 𝒪 ⊂ 𝒩 が存在し、ℙ² に正しくヒューリスティックに埋め込まれる。
• 構成された埋め込み 𝒳: 𝒪 → ℂ² は単射的で、ホロモルフィックかつ正しく、像が ℂ² の任意のコンパクト集合から逃れる。
• ドメイン 𝒪 は双曲的コンフォーラル型として選べる。これは、定数負曲率の完全なコンフォーラル計量が存在することを意味する。
• 極限写像 𝒳 は自己埋め込みである。これは、誤差列 ϵ_j を用いた導関数の制御と一様収束のおかげである。
• 各環状領域 N_j − N_{j−1}° の像が、半径 s₀ + j − 2 − ϵ₀ の球の外側に位置することを保証することで、正しさが確保される。
• この結果は、ベル＝ナラシマンの予想のトポロジー的版を確認しており、トポロジーが ℂ² への正しくヒューリスティックな埋め込みを妨げないことを示している。