[論文レビュー] Properly embedded and immersed minimal surfaces in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Jenn-Fang Hwang|ArXiv.org|Jul 7, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3次元ヘイゼンベルク群における適切に埋め込まれたおよび埋め込まれたp最小曲面を分類し、それらがリーマン直線によって規則的であることを証明し、2つのトポロジー的タイプ（バンド型とアニュラス型）を特定している。明示的なパラメータ表示が与えられ、ヘリコイド型曲面（接触平面を除くすべての整関数p最小グラフを含む）が分類され、適切性および特異点の不在の必要十分条件が確立されている。

ABSTRACT

We study properly embedded and immersed p(pseudohermitian)-minimal surfaces in the 3-dimensional Heisenberg group. From the recent work of Cheng, Hwang, Malchiodi, and Yang, we learn that such surfaces must be ruled surfaces. There are two types of such surfaces: band type and annulus type according to their topology. We give an explicit expression for these surfaces. Among band types there is a class of properly embedded p-minimal surfaces of so called helicoid type. We classify all the helicoid type p-minimal surfaces. This class of p-minimal surfaces includes all the entire p-minimal graphs (except contact planes) over any plane. Moreover, we give a necessary and sufficient condition for such a p-minimal surface to have no singular points. For general complete immersed p-minimal surfaces, we prove a half space theorem and give a criterion for the properness.

研究の動機と目的

• 3次元ヘイゼンベルク群におけるすべての適切に埋め込まれたおよび埋め込まれたp最小曲面を分類すること。
• 接触平面を除くすべての整関数p最小グラフの分類を、ヘリコイド型フレームワークを用いてより広いクラスの曲面へと拡張すること。
• p最小曲面が適切に埋め込まれるための必要十分条件および特異点をもたないための必要十分条件を確立すること。
• ヘイゼンベルク群における完全に埋め込まれたp最小曲面に対する半空間定理を証明すること。
• 特にバンド型とアニュラス型の曲面に分かれるp最小曲面のトポロジー的および幾何学的構造を分析すること。

提案手法

• ヘイゼンベルク群におけるリーマン直線に沿ったルーリングを用いて、p最小曲面を$C^2$級写像$X(s,t)$でパラメータ表示する。
• 曲面がp最小であるという条件は、擬リーマン平均曲率が消えることにより、2階偏微分方程式に帰着される。
• p最小方程式における勾配の消える条件から導かれる式(2.9) $(s^2+1) heta' + heta' = 0$ を用いて特異点を特徴付ける。
• 任意の$H_1$内のコンパクトな球の逆像が、パラメータ領域$\mathbb{R}^2$または$\mathbb{R} \times S^1$でコンパクトであることを示すことにより、適切性を確立する。
• 平面$P_t$が空間全体を被覆するかどうかに応じて、特徴的な直線$\tilde{\Gamma}_t = \Sigma \cap P_t$の構造を用いて曲面を分類する。
• 単射性および完全性に基づくトポロジー的議論を用いて、特に半空間定理の文脈で埋め込みおよび適切性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^2級p最小曲面がヘイゼンベルク群において適切に埋め込まれるための必要十分条件は何か？
• RQ2 どのp最小曲面がヘリコイド型に属するか。また、それらを明示的にパラメータ表示できるか？
• RQ3 p最小曲面が特異点を持たないための条件は何か？
• RQ4 半空間内に完全で適切に埋め込まれたp最小曲面が存在するが、接触平面でない場合、そのような曲面は存在するか？
• RQ5 適切に埋め込まれたp最小曲面が取りうるトポロジー的タイプ（バンド型またはアニュラス型）は何か？

主な発見

• ヘイゼンベルク群における適切に埋め込まれたすべてのp最小曲面は、リーマン直線によって規則的であり、トポロジカルにはバンド型（$\mathbb{R}^2$）またはアニュラス型（$\mathbb{R} \times S^1$）である。
• ヘリコイド型p最小曲面のクラスには、接触平面を除く任意の平面へのすべての整関数$C^2$級p最小グラフが含まれる。
• p最小曲面が特異点を持たないための必要十分条件は、$(s^2+1) heta' + heta' = 0$ が成り立たないことであり、これは$\theta'$と$\gamma'$が同じ符号を持つことと同値である。
• 半空間$H_1$内に完全で適切に埋め込まれたp最小曲面が存在する場合、それは接触平面に限る。これにより半空間定理が証明された。
• 特徴的な直線が平行な平面に含まれない（弱い意味でも）場合でさえ、ヘリコイド型でない適切に埋め込まれたp最小曲面が存在する。明示的な例によって示された。
• C^2級p最小曲面の適切性は、$H_1$内の任意のコンパクトな球の逆像が、パラメータ領域$\mathbb{R}^2$または$\mathbb{R} \times S^1$でコンパクトであることと同値である。