[論文レビュー] Properness conditions for actions and coactions

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、C*-代数上の作用およびコ作用に関する3つの適切性条件—s-適切、w-適切、および点wise適切—を導入し、解析する。これらは、位相的力学系における古典的概念を一般化したものである。w-適切性が係数関数がC₀(G)に属することを示し、第一可算空間に対しては、点wise適切な作用が、全交叉積と減少交叉積の間の同型を与えることを証明している。主な貢献は、Fourier-Stieltjes代数B(G)における大きな理想と交叉積における小さな理想との間のガロア対応であり、これは異種交叉積をコ作用の適切性に関連付けるものである。

ABSTRACT

Three properness conditions for actions of locally compact groups on C*-algebras are studied, as well as their dual analogues for coactions. To motivate the properness conditions for actions, the commutative cases (actions on spaces) are surveyed; here the conditions are known: proper, locally proper, and pointwise properness, although the latter property has not been so well studied in the literature. The basic theory of these properness conditions is summarized, with somewhat more attention paid to pointwise properness. C*-characterizations of the properties are proved, and applications to C*-dynamical systems are examined. This paper is partially expository, but some of the results are believed to be new.

研究の動機と目的

• 群の作用が空間に及ぼす古典的適切性条件（適切、局所的適切、点wise適切）を、C*-動的系へ一般化すること。
• C*-共変系に対してs-適切性およびw-適切性を定義し、研究すること。w-適切性は本稿の新規な焦点である。
• Fourier-Stieltjes代数B(G)における大きな理想と交叉積における小さな理想との間のガロア対応を確立し、異種交叉積の分類を可能にすること。
• これらの適切性条件が、 Baum-Connes予想および正確かつモラita-compatibleな交叉積関手の文脈における役割を調査すること。
• BGW] で導入された最小の正確かつモラita-compatibleな交叉積関手が、B(G)の大きな理想Eに対してあるE-交叉積として実現可能かどうかを特定すること。

提案手法

• すべてのa, b ∈ Aに対して、g ↦ α_g(a)b がC₀(G, A)に属することを条件としてs-適切性を定義する。
• すべてのa ∈ Aおよびφ ∈ A*に対して、g ↦ φ(α_g(a)) がC₀(G)に属することを条件としてw-適切性を定義する。
• 局所的にコンパクトなハウスドルフ空間上の作用の古典的ケースを用いて、C*-一般化の動機付けと正当性を提示する。
• 作用における適切性とコ作用における双対性を確立し、全交叉積上の双対コ作用を介してコ作用へ概念を拡張する。
• B(G)における大きな理想Eから生じる理想J(E)を用いて、全交叉積の商としてE-交叉積を構成する。この際、アニュレーター構成を用いる。
• w-適切性のもとで、E ↦ J(E)およびJ ↦ E(J)という写像を通じて、B(G)の大きな理想E ⊂ とAの小さな理想J ⊂ との間のガロア対応を証明し、相互に逆包含関係にあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一可算なG-空間Xに対して、G作用が点wise適切であるならば、C₀(X) ⋊_α G ≅ C₀(X) ⋊_α,r G が成り立つか？
• RQ2 C*-共変系(A, G, α)のw-適切性が、ユニタリコサイクルの係数関数がC₀(G)に属することによって特徴付けられるか？
• RQ3 w-適切なコ作用のもとで、Fourier-Stieltjes代数B(G)における大きな理想と交叉積代数A ⋊ Gにおける小さな理想との間のガロア対応が存在するか？
• RQ4 すべての異種交叉積が、ある大きな理想E ⊂ B(G)に対してB ⋊_α,E Gの形に表せるか、それとも例外があるか？
• RQ5 BGW] で導入された最小の正確かつモラita-compatibleな交叉積関手が、B(G)の大きな理想Eに対してあるE-交叉積に等しいか？
• RQ6 Rieffelらの積分可能性条件が、一般のC*-動的系においてs-適切性またはw-適切性を意味するか？

主な発見

• 第一可算なG-空間Xに対して、作用が点wise適切であれば、C₀(X) ⋊_α G ≅ C₀(X) ⋊_α,r G が成り立つ。これは、適切作用に対する既知の結果を拡張する。
• w-適切性は、任意の表現πおよびユニタリコサイクル(U_s)がπ(α_s(a)) = U_s π(a) U_s* を満たすとき、係数関数s ↦ ⟨U_s ξ, η⟩ がC₀(G)に属することを示す。
• w-適切なコ作用のもとで、B(G)の大きな理想E ⊂ とAの小さな理想J ⊂ との間のガロア対応が存在する。ここでJ = J(E)およびE = E(J)であり、E ⊂ E(J(E))およびJ ⊂ J(E(J)) が成り立つ。
• E-交叉積構成(B ⋊_α,E G)は、[BGW]における交叉積関手の意味で有効であり、自動的にモラita-compatibleである。
• BGW] で導入された最小の正確かつモラita-compatibleな交叉積関手は、B(G)の大きな理想Eに対してE-交叉積として実現可能かどうかは未だ不明であるが、その可能性は示唆されている。
• 反例（例：Buss–Echterhoff）が存在し、一部の異種交叉積がE-交叉積でないことを示しているが、これらはまだ関手的実現の可能性を完全に除外していない。