[論文レビュー] Properties of hitting times for $G$-martingale

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、停止した $G$-マルチングレイルが $G$-マルチングレイルのままであること、および、厳密に増加する二次変動を持つ対称 $G$-マルチングレイルの到達時刻が擬連続的であることを確立する。これらの結果により、有界な対称近似を許容し、上界付きの $L^2_G$-可積分な確率変数への表現を拡張できる、洗練された $G$-マルチングレイル表現定理が得られる。

ABSTRACT

In this article, we consider the properties of hitting times for $G$-martingale and the stopped processes. We prove that the stopped processes for $G$-martingales are still $G$-martingales and that the hitting times for a class of $G$-martingales including $G$-Brownian motion are quasi-continuous. As an application, we improve the $G$-martingale representation theorems in [Song10].

研究の動機と目的

• 非線形期待値空間における $G$-マルチングレイルの到達時刻および停止過程の性質を調査すること。
• 非線形期待値枠組みにおいて、停止過程が $G$-マルチングレイル性を保持しないという課題を解決すること。
• 特に $G$-ブラウン運動を含むクラスの $G$-マルチングレイルに対して、到達時刻の擬連続性を確立すること。
• 停止時刻の技術を用いて、[Song10]における $G$-マルチングレイル表現定理を改善すること。
• 任意の対称的確率変数 $ackslash xi \in L^2_G$ が、有界な対称的確率変数により $L^2_G$-ノルムで近似可能であることを示すこと。

提案手法

• $G$-期待値枠組みにおいて、$G$-マルチングレイル $M_t$ の停止過程 $M^\tau_t$ が still $G$-マルチングレイルであることを証明する。
• $G$-ブラウン運動の構造を活用し、厳密に増加する二次変動過程を持つ対称 $G$-マルチングレイルの到達時刻が擬連続的であることを示す。
• $L^2_G$-ノルムにおける収束を可能にするために、$G$-マルチングレイルの有界版を局所化するための停止時刻の列 $\sigma_n$ を用いる。
• $G$-イトの公式および B-D-G/ドゥーブの不等式を用いて、$H^2_G$ および $L^2_G$ 空間における近似列の収束を制御する。
• $K_t$ が擬連続的増加過程であることを前提とした分解 $M_t = M_0 + \int_0^t Z_s dB_s - K_t$ を構成し、上界付きの $ackslash xi \in L^2_G(\Omega_T)$ への表現を拡張する。
• 条件付き期待値の擬連続性と局所化を用いて、$G$-マルチングレイル枠組みにおける近似列の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-期待値枠組みにおいて、$G$-マルチングレイルの停止過程は $G$-マルチングレイルのままであるか？
• RQ2 厳密に増加する二次変動過程を持つ対称 $G$-マルチングレイルの到達時刻は擬連続的か？
• RQ3 任意の対称的 $ackslash xi \in L^2_G(\Omega_T)$ は、$L^2_G$-ノルムで有界な対称的確率変数により近似可能か？
• RQ4 上界付きの確率変数を取り扱うために、停止時刻の技術を用いて $G$-マルチングレイル表現定理を改善できるか？
• RQ5 上界付きの $ackslash xi \in L^2_G(\Omega_T)$ に対して、$K_t$ が擬連続的増加過程である分解 $M_t = M_0 + \int_0^t Z_s dB_s - K_t$ が成り立つか？

主な発見

• 停止過程 $M^\tau_t$ は、$G$-マルチングレイル $M_t$ のままであり、停止によってもマルチングレイル性が保たれる。
• 厳密に増加する二次変動を持つ対称 $G$-マルチングレイルの到達時刻は擬連続的であり、$G$-枠組みにおける正則性が保証される。
• 任意の対称的 $ackslash xi \in L^2_G(\Omega_T)$ は、$L^2_G$-ノルムで有界な対称的確率変数により近似可能である。
• $G$-マルチングレイル表現定理が改善される：上界付きの $ackslash xi \in L^2_G(\Omega_T)$ に対して、$M_t = \hat{E}_t(\xi)$ は $M_0 + \int_0^t Z_s dB_s - K_t$ の形に分解可能であり、$K_t$ は擬連続的増加過程である。
• 分解における $K_t$ は $L^2_G(\Omega_T)$ に属するため、元の $L^2_G$-有界の場合を超えて表現の有効性が拡張される。
• B-D-G およびドゥーブの不等式を用いて、$H^2_G$ および $L^2_G$ における近似列 $\{Z^n_t\}$ および $\{K^n_t\}$ の収束が確立され、極限表現の存在が保証される。