[論文レビュー] Properties of the residual circle action on a toric hyperkahler variety

Megumi Harada, Nicholas Proudfoot|ArXiv.org|Jul 1, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{H}^n$ の超ケーラー還元から得られる超トーリック超ケーラー多様体におけるハミルトニアン $S^1$-作用を研究し、その作用が定義する超平面配置 $\mathcal{H}$ の共向き性およびアフィン構造のデータを符号化していることを示している。主な貢献は、複素化された配置の補集合の $\mathbb{Z}_2$--equivariant cohomology を用いたオルリック＝ソロモン代数の変形であり、$S^1$-作用と実軌道の位相を用いて明示的に計算されている。

ABSTRACT

We consider a manifold X obtained by a Kahler reduction of C^n, and we define its hyperkahler analogue M as a hyperkahler reduction of T^*C^n = H^n by the same group. In the case where the group is abelian and X is a smooth toric variety, M is a toric hyperkahler manifold, as defined by Bielawski-Dancer, and further studied by Konno and Hausel-Sturmfels. The manifold M carries a natural action of S^1, induced by the scalar action of S^1 on the fibers of T^*C^n. In this paper we study this action, computing its fixed points and its equivariant cohomology. As an application, we use the associated Z/2 action on the real locus of M to compute a deformation of the Orlik-Solomon algebra of a smooth, generic, real hyperplane arrangement, depending nontrivially on the affine structure of the arrangement. This deformation is given by the Z/2-equivariant cohomology of the complement of the complexification, where Z/2 acts by complex conjugation.

研究の動機と目的

• 超トーリック超ケーラー多様体 $M$ が $\mathbb{H}^n$ の部分トーラス $T^k$ を用いた超ケーラー還元によって構成される $S^1$-作用を理解すること。
• この $S^1$-作用が、ケーラー商の構成では失われる定義する超平面配置 $\mathcal{H}$ の共向き性およびアフィン構造の情報を保持していることを示すこと。
• 超平面配置 $\mathcal{H}$ の完全な組合せ的データ（アフィン構造を含む）を用いて、多様体 $M$ の $S^1$-equivariant cohomology を計算すること。
• 実軌道 $M_\mathbb{R}$ の位相と、補集合 $\mathcal{M}(\mathcal{H})$ の $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology の関係を明らかにし、オルリック＝ソロモン代数の変形を導出すること。

提案手法

• 超平面配置 $\mathcal{H}$ のアフィン構造を符号化する $\alpha$ を用いて、超トーリック多様体 $M$ を超ケーラー商 $\mathbb{H}^n //_{(\alpha,0)} T^k$ として構成する。
• 余接バンドル $T^*\mathbb{C}^n \cong \mathbb{H}^n$ のスカラー乗法から誘導される $M$ 上の $S^1$-作用を研究し、その固定点と作用素写像を分析する。
• 変形再びであるコア $C \subset M$ を用いて、射影的部分多様体の和集合上で $S^1$-作用を明示的に記述する。
• 超平面の交差条件を含む $\mathcal{H}$ の組合せ論を用いて、$S^1$-equivariant cohomology $H^*_{S^1}(M)$ および $T^d \times S^1$-equivariant cohomology を計算する。
• 複素共役の固定点集合としての実軌道 $M_\mathbb{R} \subset M$ を分析し、$H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ と関連付ける。
• $\mathbb{Z}_2[u_1,\dots,u_n,x]$ の商として $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ の明示的表示を確立し、その関係式が $\mathcal{H}$ のアフィン構造を符号化していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超トーリック超ケーラー多様体 $M$ 上の $S^1$-作用は、定義する超平面配置 $\mathcal{H}$ の共向き性およびアフィン構造の情報をどのように符号化しているか？
• RQ2 $S^1$-equivariant cohomology 環 $H^*_{S^1}(M)$ の構造は何か？ また、$\mathcal{H}$ の完全な組合せ的データにどのように依存するか？
• RQ3 補集合 $\mathcal{M}(\mathcal{H})$ の $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology は実軌道 $M_\mathbb{R}$ を通じて計算可能か？ また、それは配置の性質をどのように明らかにするか？
• RQ4 $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology 環 $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ は、$\mathcal{OS} \otimes \mathbb{Z}_2$ を $\operatorname{\mathbb{Z}_2}[x]$ 上で変形したものであり、アフィン構造に非自明に依存するか？
• RQ5 組合せ的に同値な配置が、非同型な $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology 環を持つことがあるか？ これにより、この環が組合せ的不変量でないことが示されるか？

主な発見

• 超トーリック多様体 $M$ 上の $S^1$-作用は、共向き性および超平面配置 $\mathcal{H}$ のアフィン構造の両方の情報を、同型不変量のレベルでも保持している。
• $S^1$-equivariant cohomology は明示的に計算され、$H^*_{S^1}(M) \cong \mathbb{Z}[u_1,\dots,u_n,x] / \langle \Pi_{i\in S_1} u_i \cdot \Pi_{j\in S_2} (x - u_j) \mid \bigcap_{i\in S} H_i = \emptyset \rangle$ と表される。ここで関係式はアフィン構造に依存する。
• $\mathcal{M}(\mathcal{H})$ の $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology は $H^*_{T_\mathbb{R}^d \times \mathbb{Z}_2}(M_\mathbb{R}; \mathbb{Z}_2) / \ker \phi_2$ に同型であり、$\ker \phi_2$ は $u_i(x - u_i)$ と交差関係によって生成される。
• 環 $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}; \mathbb{Z}_2)$ は、$\mathcal{OS} \otimes \mathbb{Z}_2$ を $\operatorname{\mathbb{Z}_2}[x]$ 上で変形したものであり、アフィン構造に非自明に依存しており、下位のマトロイドだけでは決定されない。
• $\mathcal{H}_a'$ と $\mathcal{H}_c'$ がアフィン構造のみで異なる場合、$\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology 環は同型でない。これは、$H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}_a'); \mathbb{Z}_2)$ における $u_2$ の annihilator が2つの線形要素によって生成されるのに対し、$H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}_c'); \mathbb{Z}_2)$ には同様の要素が存在しないことから示される。
• $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}; \mathbb{Z}_2)$ の表示は $\mathbb{Z}_2[u_1,\dots,u_n,x] / \langle \text{交差関係} \rangle + \langle u_i(x - u_i) \rangle$ で与えられ、アフィンデータへの依存が明示的に示されている。