[論文レビュー] Property A and uniform embedding for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト第二可算（l.c.s.c.）群に対してYuの性質Aの類似物を確立し、それが無限大における可解性およびヒルベルト空間への一様埋め込みと同値であることを証明する。また、離散群に対してSkandalis, Tu, Yuが得た結果を一般化し、すべてのl.c.s.c.群に対して、係数付きバーム＝コンネスアセンブリーマップのスプリット埋め込み性を拡張する。

ABSTRACT

For locally compact groups, we define an analogue to Yu's property A that he defined for discrete metric spaces. We show that our property A for locally compact groups agrees with Roe's notion of property A for proper metric spaces, defined in \cite{R05}. We prove that many of the results that are known to hold in the discrete setting, hold also in the locally compact setting. In particular, we show that property A is equivalent to amenability at infinity (see \cite{HR00} for the discrete case), and that a locally compact group with property A embeds uniformly into a Hilbert space (see \cite{Yu00} for the discrete case). We also prove that the Baum-Connes assembly map with coefficients is split-injective, for every locally compact group that embeds uniformly into a Hilbert space. This extends results by Skandalis, Tu and Yu \cite{STY02}, and by Chabert, Echterhoff and Oyono-Oyono \cite{CEO04}.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト第二可算（l.c.s.c.）群における性質Aを定義し、その特徴づけを行う。これはYuの離散的距離空間における定義の自然な一般化である。
• l.c.s.c.群において、性質A、無限大における可解性、ヒルベルト空間への一様埋め込みの間の同値性を確立する。
• ヒルベルト空間に一様に埋め込めるすべてのl.c.s.c.群に対して、係数付きバーム＝コンネスアセンブリーマップのスプリット埋め込み性を一般化する。
• 局所コンパクト設定におけるOzawaの正確性の概念との同値性について、代替的で初等的な証明を提供する。
• コンパクトハウスドルフ空間へのハーガープ作用の存在を用いて、ヒルベルト空間への一様埋め込みを特徴づける。

提案手法

• 変換群ガロア群 $X \rtimes G$ 上の連続的かつ固有の条件的負定値核を用いて、l.c.s.c.群における性質Aを定義する。これはYuの離散空間に対する定義に類似している。
• 新しい性質Aと、有界幾何をもつ滑らかな距離空間に対するRoeによる性質Aの一般化との同値性を証明する。
• 性質Aと、コンパクトハウスドルフ空間への位相的に可解な作用の存在との同値性を確立する。これはHigsonとRoeの結果を局所コンパクトの場合に一般化する。
• Higsonの降下技術と、Chabert, Echterhoff, Oyono-Oyonoによる降下関手を用いて、バーム＝コンネスアセンブリーマップのスプリット埋め込み性を拡張する。
• 与えられたハーガープ作用から、$X \rtimes G$ 上の連続的かつ固有の条件的負定値関数を構成し、逆にそれも同様に構成することで、一様埋め込みを特徴づける。
• 包含写像 $\mathbb{C} \to C(X)$ を用いたHigsonの降下図を適用し、$X$ の$K$-可縮性が$K$-理論に誘導する同型を介して、バーム＝コンネスマップがスプリット埋め込みであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yuの離散的距離空間における性質Aは、局所コンパクト群へ自然に一般化可能か？
• RQ2 l.c.s.c.群における性質Aは、離散の場合と同様に、無限大における可解性と同値か？
• RQ3 ヒルベルト空間に一様に埋め込めるすべてのl.c.s.c.群に対して、係数付きバーム＝コンネスアセンブリーマップのスプリット埋め込み性を拡張できるか？
• RQ4 l.c.s.c.群において、ヒルベルト空間への一様埋め込みは、コンパクトハウスドルフ空間へのハーガープ作用の存在と同値か？
• RQ5 有界幾何をもつ滑らかな距離空間において、Roeの定義と著者らの定義は同値か？

主な発見

• l.c.s.c.群における性質Aは、無限大における可解性と同値であり、これはHigsonとRoeの離散的設定における結果を局所コンパクト設定に一般化する。
• 局所コンパクト群が性質Aをもつことと、コンパクトハウスドルフ空間への位相的に可解な作用をもつことは同値である。
• すべての性質Aをもつ局所コンパクト群は、ヒルベルト空間に一様に埋め込むことができる。これはYuの結果を局所コンパクトの場合に拡張する。
• ヒルベルト空間への一様埋め込みは、コンパクトハウスドルフ空間へのハーガープ作用の存在と同値である。
• ヒルベルト空間に一様に埋め込めるすべてのl.c.s.c.群に対して、係数付きバーム＝コンネスアセンブリーマップはスプリット埋め込みである。
• スプリット埋め込み性の証明にはHigsonの降下と降下関手が用いられ、重要なステップは、状態空間 $X = \text{Prob}(Y)$ の$K$-可縮性であり、これは$K$-理論に同型を誘導する。