[論文レビュー] Proportionality principle for the simplicial volume of families of Q-rank 1 locally symmetric spaces

Michelle Bucher, Инканг Ким+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、cusp 群が非可換であっても、その普遍被覆が実双曲空間の積である Q-ランク 1 局所的に対称な空間について、リーマン計量体積と局所的に有限な単体的体積の間の比例性原理を確立する。有界コホモロジーと連続有界コホモロジーと通常コホモロジーの間の比較写像を用いて、単体的体積が体積を普遍被覆上の体積形式の essentially 無限大ノルムで割ったものに等しいことを証明し、従来の可換 cusp 群に限らない結果を拡張する。

ABSTRACT

We establish the proportionality principle between the Riemannian volume and locally finite simplicial volume for Q-rank 1 locally symmetric spaces covered by products of hyperbolic spaces, giving the first examples for manifolds whose cusp groups are not necessarily amenable. Also, we give a simple direct proof of the proportionality principle for the locally finite simplicial volume and the relative simplicial volume of Q-rank 1 locally symmetric spaces with amenable cusp groups established by Löh and Sauer.

研究の動機と目的

• Q-ランク 1 局所的に対称な空間において、cusp 群が可換でない場合の単体的体積に関する比例性原理を、可換 cusp 群に限らない範囲に拡張すること。
• 局所的に有限な単体的体積と、普遍被覆上の体積形式の essentially 無限大ノルムで割ったリーマン計量体積との等価性を確立すること。
• 測度ホモロジーまたは多複体に依存しない、有界コホモロジー技法に依拠する自己完結的な証明を提供すること。
• cusp 基本群が非可換であるような可約 Q-ランク 1 局所的に対称な空間に対しても、比例性原理が成り立つことを示すこと。
• 従来の可換性に基づく手法が失敗する状況においても、比例性原理の有効性を確認すること。

提案手法

• 著者らは、体積形式 $\omega_{\widetilde{M}}$ を測地的単体上で積分することにより、普遍被覆 $\widetilde{M}$ 上に有界な $H$-不変なコサイクル $\Theta$ を定義する。
• $\Theta$ が連続有界コホモロジー類 $[\Theta]^{H}_{b} \in H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$ を定め、比較写像を介して体積類 $\omega_{\widetilde{M}}$ へ写像されることを示す。
• 比較写像 $c: H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon}) \to H^{n}_{c}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$ が同型であると仮定することで、有界コホモロジー類を双対性を用いて単体的体積と関連付ける。
• 局所的に有限な鎖に対して測地的ストレートニング写像を用い、基本的サイクルの $\ell^1$-ホモロジー類を $\Theta$ とペアリングすることで、体積 $\mathrm{Vol}(M)$ が得られることを示す。
• $\|M\|_{\mathrm{lf}} \geq \mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$ を導出し、有界コホモロジー枠組みから得られる逆不等式により等号を証明する。
• 証明は、$H$ の単位成分 $G$ と格子 $\Gamma$ の包含写像によって誘導されるコホモロジー群の等長埋め込みに依存し、ノルムを保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cusp 群が非可換である Q-ランク 1 局所的に対称な空間において、リーマン計量体積と局所的に有限な単体的体積の間の比例性原理は成立するか？
• RQ2 測度ホモロジーまたはグロモフの多複体に依存しない有界コホモロジー技法を用いて、比例性原理を確立できるか？
• RQ3 実双曲空間の積に対して、連続有界コホモロジーと連続コホモロジーの間の比較写像が、最高次元で同型であるか？
• RQ4 体積が $\mathbb{R}$-ランク 1 対称空間の積に被覆される Q-ランク 1 局所的に対称な空間の単体的体積は $\mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$ に等しいか？
• RQ5 cusp 群が非可換である可約 Q-ランク 1 局所的に対称な空間に対しても、比例性原理を拡張できるか？

主な発見

• cusp 群が非可換であっても、普遍被覆が実双曲空間の積 $\mathbb{H}^{n_1} \times \cdots \times \mathbb{H}^{n_k}$（$n_i \geq 2$）である Q-ランク 1 局所的に対称な空間に対して、比例性原理が成り立つ。
• 比較写像 $c: H^{n}_{c,b}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon}) \to H^{n}_{c}(H,\mathbb{R}_{\varepsilon})$ が同型であるという仮定の下で、局所的に有限な単体的体積は $\|M\|_{\mathrm{lf}} = \mathrm{Vol}(M)/\|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$ を満たす。
• Löh と Sauer の離散近似技法に依存しない、直接的かつ自己完結的な有界コホモロジーに基づく証明が提供される。
• 体積形式のノルムの不変性を、コホモロジー制限の鎖と比較写像を介して示し、$\|\omega_M\|^\infty = \|\omega_{\widetilde{M}}\|_{\infty}$ を確立する。
• 可約 Q-ランク 1 局所的に対称な空間に対しても、cusp 基本群が非可換である場合に比例性原理が成り立つことが確認される。
• 本研究は、cusp 群の可換性にかかわらず、比例性原理がすべての Q-ランク 1 局所的に対称な空間に成立するとの予想を支持する。