[論文レビュー] Prototypes of higher algebroids with applications to variational calculus

Michał Jóźwikowski, Mikołaj Rotkiewicz|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、リー群ガロアの高次接バンドルの還元から生じる幾何的構造としての高次代数的構造（higher algebroids）を導入し、1次元のリー代数的構造への一般化を高次設定に拡張する。Zakrzewski準同型を用いた変分法の枠組みを構築し、高次力学系、対称性を伴う還元系、1次代数的問題を統一的に扱う。主な貢献は、重み付きバンドルと微分的関係を用いた高次オイラー＝ラグランジュ方程式の幾何的定式化である。

ABSTRACT

Reductions of higher tangent bundles of Lie groupoids provide natural examples of geometric structures which we would like to call higher algebroids. Such objects can be also constructed abstractly starting from an arbitrary almost Lie algebroid. A higher algebroid is, in principle, a graded bundle equipped with a differential relation of special kind (a Zakrzewski morphism). In the paper we investigate basic properties of higher algebroids and show some applications. Namely, we develop a geometric framework for variational calculus on higher algebroids (including both forces and momenta). Such a formalism covers simultaneously variational problems on higher tangent bundles, first-order problems on algebroids and higher-order problems reduced by symmetries.

研究の動機と目的

• リー群ガロアの高次接バンドルの還元から生じる自然な幾何的構造としての高次代数的構造を定義し、研究すること。
• Zakrzewski準同型と重み付きバンドル構造を用いて、古典的リー代数的構造を高次設定に一般化すること。
• 高次代数的構造上で、高次ラグランジュ系、運動量、および力が含まれる統一的な幾何的変分法を構築すること。
• 重み付きバンドル上の内在的な微分的関係を通じて、高次オイラー＝ラグランジュ方程式の幾何的定式化を提供すること。
• 高次接バンドル上の変分問題、1次代数的構造、および対称性を伴う還元された高次系の変分問題を統一すること。

提案手法

• リー群ガロア $\mathcal{G}$ の高次接バンドル $\mathrm{T}^k\mathcal{G}$ の還元として高次代数的構造 $\mathcal{A}^k(\mathcal{G})$ を定義し、特に出発ファイブレーションに沿った $k$-速度として扱う。
• 古典的代数的構造におけるリー括弧の代わりに、全空間の接バンドル上に定義された微分的関係（Zakrzewski準同型）$\kappa$ を用いて高次代数的構造を定義する。
• アーカンチムップ $\rho$ を通じて $\mathrm{T}^*E$ から $\mathrm{T}E^*$ へのベクトルバンドル準同型の双対として $\kappa$ を定義するため、$\varepsilon = \tilde{\Lambda} \circ \mathbf{R}$ を用いる。
• ラグランジアンを重み付きバンドルに上げて、幾何的部分積分を用いて高次オイラー＝ラグランジュ方程式を導出することにより、高次代数的構造上で変分法を定式化する。
• 高次系の多様体上での例および対称性を伴う還元動力学の例にこの枠組みを適用し、既知のケースと整合することを示す。
• 関係の接バンドルへの持ち上げを用いて、微分作用の下でも構造が保存されることを保証し、変分法枠組みが幾何的演算と整合することを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群ガロア $\mathcal{G}$ の $k$-次接バンドル $\mathrm{T}^k\mathcal{G}$ の還元からどのような幾何的構造が生じるか？
• RQ2 自然な括弧が存在しない高次設定において、リー代数的構造（リー括弧とアーカンチムップで定義される）はどのように一般化できるか？
• RQ3 Zakrzewski準同型 $\kappa$ は、高次代数的構造の代数的および幾何的構造をどのように符号化するか？
• RQ4 力と運動量を含む高次代数的構造上の変分問題は、どのように幾何的に定式化できるか？
• RQ5 この枠組みは、高次力学系、1次代数的構造の運動、および対称性を伴う還元された高次系をどの程度統一的に扱えるか？

主な発見

• 高次代数的構造は、重み付きバンドルに特別な微分的関係（Zakrzewski準同型）$\kappa$ を持つものとして定義され、1次を超えるリー代数的構造への一般化を実現する。
• Zakrzewski準同型 $\kappa$ は、双対として $\varepsilon = \tilde{\Lambda} \circ \mathbf{R}$ を用いて構成され、ここで $\tilde{\Lambda}$ は双対バンドル上の標準的ポissonテンソルから生じ、$\mathbf{R}$ は標準的反symplectomorphism である。
• この枠組みは、高次代数的構造への変分法の一般化に成功し、重み付きバンドル上での高次オイラー＝ラグランジュ方程式の幾何的定式化をもたらす。
• この方法により、3つの変分問題のクラスが統一される：多様体上の高次系、代数的構造上の1次系、対称性を伴う還元された高次系。
• 関係の接バンドルへの持ち上げは、Zakrzewski準同型の構造を保存し、幾何的演算の下でも変分法枠組みの整合性が保証される。
• 適切な曲線のホモトピー関係を用いて、リー代数的構造の統合理論を高次設定に自然に拡張するアプローチを提供する。