[論文レビュー] Provably robust estimation of modulo 1 samples of a smooth function with applications to phase unwrapping

Mihai Cucuringu, Hemant Tyagi|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Optical measurement and interference techniques参考文献 73被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、角埋め込みと信頼領域部分問題緩和を用いて、滑らかな関数のモジュロ1サンプルのノイズ除去に証明可能に頑健な手法を提案する。敵対的、ガウス的、ベルヌーイ的ノイズモデルの下で理論的保証を達成し、高ノイズレベル下でも高い精度で元の信号をグローバルシフトを除き回復可能な効率的な位相アンラップを可能にする。

ABSTRACT

Consider an unknown smooth function $f: [0,1]^d ightarrow \mathbb{R}$, and say we are given $n$ noisy mod 1 samples of $f$, i.e., $y_i = (f(x_i) + η_i)\mod 1$, for $x_i \in [0,1]^d$, where $η_i$ denotes the noise. Given the samples $(x_i,y_i)_{i=1}^{n}$, our goal is to recover smooth, robust estimates of the clean samples $f(x_i) \bmod 1$. We formulate a natural approach for solving this problem, which works with angular embeddings of the noisy mod 1 samples over the unit circle, inspired by the angular synchronization framework. This amounts to solving a smoothness regularized least-squares problem -- a quadratically constrained quadratic program (QCQP) -- where the variables are constrained to lie on the unit circle. Our approach is based on solving its relaxation, which is a trust-region sub-problem and hence solvable efficiently. We provide theoretical guarantees demonstrating its robustness to noise for adversarial, and random Gaussian and Bernoulli noise models. To the best of our knowledge, these are the first such theoretical results for this problem. We demonstrate the robustness and efficiency of our approach via extensive numerical simulations on synthetic data, along with a simple least-squares solution for the unwrapping stage, that recovers the original samples of $f$ (up to a global shift). It is shown to perform well at high levels of noise, when taking as input the denoised modulo $1$ samples. Finally, we also consider two other approaches for denoising the modulo 1 samples that leverage tools from Riemannian optimization on manifolds, including a Burer-Monteiro approach for a semidefinite programming relaxation of our formulation. For the two-dimensional version of the problem, which has applications in radar interferometry, we are able to solve instances of real-world data with a million sample points in under 10 seconds, on a personal laptop.

研究の動機と目的

• 未知の滑らかな関数の清浄なモジュロ1サンプルを、ノイズのある観測から滑らかさ正則化付きの手法で推定すること。
• 敵対的、ガウス的、ベルヌーイ的ノイズなどのさまざまなノイズモデル下での手法の頑健性に関する理論的保証を提供すること。
• まずモジュロ1サンプルのノイズ除去を行い、その後元の信号をグローバルシフトを除き再構築することで、効率的かつ正確な位相アンラップを可能にすること。
• リーマン幾何学的最適化および半定値計画法緩和に基づく代替手法と、提案手法の信頼領域に基づく手法を比較すること。
• 大規模問題へのスケーラビリティを実証すること。具体的には、100万点に達する実世界のInSARデータを10秒未塔で処理できるかを検証すること。

提案手法

• モジュロ1サンプルを角度変数としてモデル化し、単位円上の滑らかさ正則化付き最小二乗最適化問題としてノイズ除去問題を定式化する。
• 非凸な二次制約付き二次計画問題（QCQP）を信頼領域部分問題に緩和し、標準的な数値的手法で効率的に解けるようにする。
• ℓ₂球／球面制約を用いた信頼領域部分問題を採用し、変数が単位円上に保たれるようにすることで、効率的かつ安定した最適化を実現する。
• 元の実数値関数をグローバルシフトを除き回復するために、アンラップ段階で単純な最小二乗法を用いる。
• 多様体上のリーマン幾何学的最適化および半定値計画法緩和のためのBurer-Monteiroアプローチを用いた代替定式化を検討する。
• 2次元位相アンラップ問題に本手法を適用し、高サンプル数の実世界のInSARデータにおいてもスケーラビリティを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュロ1ノイズ除去のQCQP定式化に対する信頼領域緩和は、敵対的ノイズ下でも証明可能な頑健性を達成できるか？
• RQ2 提案手法はガウス的およびベルヌーイ的ノイズモデル下でも精度を維持できるか？その理論的根拠はあるか？
• RQ3 精度および速度の観点から、信頼領域に基づく手法はリーマン幾何学的最適化および半定値計画法緩和と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 100万サンプルに達するような大規模問題、例えば実世界のInSARデータを、実用的な時間制限内に効率的に処理できるか？
• RQ5 高ノイズレベル下でも、特にノイズのあるモジュロ1サンプルに適用したアンラップ段階は頑健かつ正確か？

主な発見

• QCQP定式化の信頼領域緩和は、集中不等式を用いた理論的根拠に基づき、敵対的ノイズに対して証明可能な頑健性を達成する。
• ガウス的およびベルヌーイ的ノイズモデル下でも、実験的に優れた性能を示し、ノイズ除去された推定値が真の滑らかな関数をよく追跡する。
• 2次元位相アンラップ問題において、100万点に達する実世界のInSARデータを個人用ラップトップで10秒未塔で処理するのに成功した。
• 特に高ノイズ環境下では、先行研究（Bhandariら, 2017）を上回る性能を示した。これは、頑健なノイズ除去段階のおかげである。
• 最小二乗回帰に基づくアンラップステップは、ノイズのあるモジュロ1サンプルに対しても、グローバルシフトを除き元の信号を信頼性高く回復できる。
• 理論的解析により、任意の有界ノイズ下でも手法の安定性と精度が保たれることを確認した。誤差バウンドはノイズレベルおよび元の関数の滑らかさに依存する。