[論文レビュー] Pseudo-differential operators, heat calculus and index theory of groupoids satisfying the Lauter-Nistor condition

Bing Kwan So|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Lauter-Nistor 条件を満たす Lie 群ガロア上における擬微分作用素のための熱計算および指数理論を、境界を持つ多様体と類似した方法で構築する。拡張された計算（境界付き計算に類似）を構築し、ブルハット球面上の作用素に対するフレドホルム性の基準を証明し、摂動されたラプラシアンの熱核を構成し、熱核法を用いて正規化されたアティヤ＝シンガー指数公式を確立する。

ABSTRACT

In this thesis, we study singular pseudo-differential operators defined by groupoids satisfying the Lauter-Nistor condition, by a method parallel to that of manifolds with boundary and edge differential operators. The example of the Bruhat sphere is studied in detail. In particular, we construct an extension to the calculus of uniformly supported pseudo-differential operators that is analogous to the calculus with bounds defined on manifolds with boundary. We derive a Fredholmness criterion for operators on the Bruhat sphere, and prove that their parametrices up to compact operators lie inside the extended calculus; we construct the heat kernel of perturbed Laplacian operators; and prove an Atiyah-Singer type renormalized index formula for perturbed Dirac operators on the Bruhat sphere using the heat kernel method.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体における境界付き計算に類似した、Lauter-Nistor 条件を満たす群ガロア上の均一にサポートされた擬微分作用素の計算を拡張すること。
• 拡張された計算枠組みを用いて、ブルハット球面上の作用素に対するフレドホルム性の基準を確立すること。
• Lauter-Nistor 条件を満たす群ガロア上における摂動されたラプラシアン作用素の熱核を構成すること。
• 熱核法を用いて、ブルハット球面上の摂動されたディラック作用素に対して、正規化されたアティヤ＝シンガー型指数公式を導出すること。
• エッジ計算および境界付き多様体からの技法を、特に特異な擬微分作用素を扱う群ガロア設定に一般化すること。

提案手法

• 境界付き多様体における境界付き計算を、Lauter-Nistor 条件を満たす群ガロアに適応し、均一にサポートされた擬微分作用素の拡張された計算を構築する。
• 群ガロアのベクトル表現を用いて、ベクトル bundle の切断上への作用素を定義し、縮小核および畳み込み積構造を活用する。
• パラメトリックス法を用いて摂動されたラプラシアン作用素の熱核を構成し、形式的解を導出し、横断的正則性を用いて収束を証明する。
• 群ガロア上のリーマン計量および接続を用いて、熱核の横断的正則性を確立し、熱核の正則性定理を証明する。
• 熱核の短時間漸近展開を用いて、スペクトル不変量を解析し、正規化されたトレースを導出する。
• McKean-Singer 公式を用いて、熱核トレースと指数を関連付け、摂動されたディラック作用素に対する正規化された指数公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群ガロア上における均一にサポートされた擬微分作用素の計算は、どのように境界付き多様体における境界付き計算に類似した形で拡張可能か？
• RQ2 拡張された計算枠組みにおいて、ブルハット球面上の作用素に対するフレドホルム性の基準は何か？
• RQ3 Lauter-Nistor 条件を満たす群ガロア上における摂動されたラプラシアン作用素の熱核は、構成可能か？
• RQ4 この群ガロア設定における熱核の短時間漸近展開の構造は何か？
• RQ5 熱核法を用いて、ブルハット球面上の摂動されたディラック作用素に対して、正規化されたアティヤ＝シンガー指数公式を導出可能か？

主な発見

• Lauter-Nistor 条件を満たす群ガロア上に、境界付き多様体における境界付き計算に類似した、均一にサポートされた擬微分作用素の新しい拡張計算が構築された。
• ブルハット球面上のフレドホルム作用素のパラメトリックスが、コンパクト作用素を除いて拡張計算に含まれることを示し、フレドホルム理論への適切さを裏付けた。
• パラメトリックス法を用いて摂動されたラプラシアン作用素の熱核が構成され、形式的解が得られ、横断的正則性を用いて収束が保証された。
• 横断的正則性定理により、熱核が横断方向に滑らかであることが保証され、ブルハット球面の具体例への明示的応用が可能となった。
• 熱核の短時間漸近展開が導出され、スペクトル不変量の解析およびトレース欠損公式の分析が可能となった。
• 熱核法および正規化されたトレースを用いて、ブルハット球面上の摂動されたディラック作用素に対して、正規化されたアティヤ＝シンガー型指数公式が証明された。