[論文レビュー] Pseudo Kobayashi hyperbolicity of base spaces of families of minimal projective manifolds with maximal variation

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、最大変動を示す滑らかな最小射影多様体の族の底空間 $ V $ が、擬似 Kobayashi 超特異的であることを確立している。これは、$ V $ に含まれる非定値な全純曲線が、すべての部分多様体に含まれることを意味する。Viehweg-Zuo の Higgs バンドルと新しい Torelli 型定理を用いて、Kobayashi-Royden の無限小擬計量が、ある部分多様体を除いて正定値であることを証明し、モジュライ空間の Brody 超特異的性を確認し、Viehweg-Zuo (2003) が提起した疑問に答えている。

ABSTRACT

In this paper we prove that every quasi-projective base space $V$ of smooth family of minimal projective manifolds with maximal variation is pseudo Kobayashi hyperbolic, i.e. $V$ is Kobayashi hyperbolic modulo a proper subvariety $Z\subsetneq V$. In particular, $V$ is algebraically degenerate, that is, every nonconstant entire curve $f:\mathbb{C} o V$ has image $f(\mathbb{C})$ which lies in that proper subvariety $Z\subsetneq V$. As a direct consequence, we prove the Brody hyperbolicity of moduli spaces of minimal projective manifolds, which answers a question by Viehweg-Zuo in 2003.

研究の動機と目的

• 最大変動を示す滑らかな最小射影多様体の族の底空間が、擬似 Kobayashi 超特異的であることを確立すること。
• Viehweg-Zuo (2003) が提起した、最小射影多様体のモジュライ空間の Brody 超特異的性に関する疑問を解消すること。
• ファイバーの Kodaira 次元に依存しない、Viehweg-Zuo の Higgs バンドルに関する一般化された Torelli 型定理を証明すること。
• Hodge モジュール理論を用いて、ファイバーに良い最小モデルが存在する族の底空間に対しても、超特異的性の結果を拡張すること。
• Viehweg-Zuo の Higgs バンドルに一般化された Torelli 性質が存在することは、底空間における全純曲線の代数的退化性を示すこと。

提案手法

• Hodge モジュール理論を用いて、底空間の双有理的モデル上に Viehweg-Zuo の Higgs バンドルを構成する。
• Zariski 開集合上で正の曲率を持つ特異 Hermitian 計量 $ h $ を Higgs バンドルに導入する。
• Higgs フィールド $ \tau_k $ の対称冪を用いて、底空間の接バンドル上に Finsler 計量 $ \mathscr{F} $ を定義する。
• 係数 $ \alpha_k $ が適切に選ばれれば、$ \mathscr{F} $ の全純断面曲率が負の定数で上から抑えられることを証明する。
• Demailly の Ahlfors-Schwarz の補題を適用し、Kobayashi-Royden 計量が、空でない Zariski 開部分集合上で正定値であることを導く。
• Kobayashi 超特異的性の双正則不変性を用いて、結果を元の底空間 $ V $ に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大変動を示す滑らかな最小射影多様体の族の底空間は、擬似 Kobayashi 超特異的か？
• RQ2 ファイバーの Kodaira 次元に依存せず、すべての Viehweg-Zuo の Higgs バンドルに対して一般化された Torelli 性質が成り立つか？
• RQ3 最小射影多様体のモジュライ空間の Brody 超特異的性は、Kodaira 次元が最大でない場合にも確立できるか？
• RQ4 一般条件下で、底空間上に構成された Finsler 計量が、負の全純断面曲率を持つことができるか？
• RQ5 Higgs フィールド $ \tau_1 $ の第一対称冪の単射性は、底空間上で一般的性質か？

主な発見

• 最大変動を示す滑らかな最小射影多様体の族の底空間 $ V $ は、擬似 Kobayashi 超特異的である。すなわち、Kobayashi-Royden 計量は、$ V $ の真部分多様体 $ Z \subsetneq V $ を除いて正定値である。
• Viehweg-Zuo の Higgs バンドルに一般化された Torelli 性質が、ファイバーの Kodaira 次元に依存せず、Higgs フィールドの曲率と単射性の議論によって証明された。
• 特異 Hermitian 計量と Higgs フィールドの対称冪から構成された Finsler 計量 $ \mathscr{F} $ は、係数 $ \alpha_k $ が適切に選ばれれば、全純断面曲率が負の定数で上から抑えられる。
• Kobayashi-Royden の無限小計量 $ \kappa_V $ は、$ V $ の空でない Zariski 開部分集合上で正定値であり、これは擬似 Kobayashi 超特異的性を示している。
• その結果、任意の非定値全純曲線 $ f: \mathbb{C} \to V $ の像は、$ V $ の真部分多様体 $ Z \subsetneq V $ に含まれる。これは代数的退化性を確認する。
• 最小射影多様体のモジュライ空間の Brody 超特異的性が確立され、Viehweg-Zuo (2003) が提起した疑問が解決された。