[論文レビュー] Pseudo-rotations with sufficiently Liouvillean rotation number are C^0-rigid

Barney Bramham|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特定の稠密なリウヴィル数の部分集合に属する回転数をもつ2次元円板上の無理数的擬回転が、$C^0$-剛性であることを確立している。これは、ある反復写像が一様に恒等写像に収束することを意味する。擬擬正則曲線の技法と$L^2$から$C^0$への推定式を用いて、このような系が混合的でないことを示し、零エントロピーのハミルトニアン系における滑らかなエルゴディック理論の主要な障害を解消した。

ABSTRACT

It is an open question in smooth ergodic theory whether there exists a Hamiltonian disk map with zero topological entropy and (strong) mixing dynamics. Weak mixing has been known since Anosov and Katok first constructed examples in 1970. Currently all known examples with weak mixing are irrational pseudo-rotations with Liouvillean rotation number on the boundary. Our main result however implies that for a dense subset of Liouville numbers (strong) mixing cannot occur. Our approach involves approximating the flow of a suspension of the given disk map by pseudoholomorphic curves. Ellipticity of the Cauchy-Riemann equation allows quantitative L^2-estimates to be converted into C^0-estimates between the pseudoholomorphic curves and the trajectories of the flow on growing time scales. Arithmetic properties of the rotation number enter through these estimates.

研究の動機と目的

• 零位相エントロピーをもつ面積保存的ディスク写像が混合的であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• リウヴィル型回転数をもつ無理数的擬回転の力学的挙動を調査すること。
• アノソフとカトクが構成した弱混合的例が強混合的へと拡張可能かどうかを検討すること。
• シンプレクティック幾何学的手法を用いて、極めて非ディオファントス的回転数をもつ系の力学的剛性を特徴づけること。

提案手法

• シンプレクティック多様体における擬擬正則曲線を用いて、ディスク写像の懸垂フローを近似する。
• 楕円型正則性と$L^2$-推定式を適用し、擬擬正則曲線とフロー軌道との間の$C^0$-距離を制御する。
• 超指数的有理近似によって定義される$\mathcal{L}_*$内の回転数の算術的性質を用いて、誤差項を評価する。
• 周期的または半無限なシリンダー上でソボレフ型不等式を用いて、定量的な$L^2$から$C^0$への埋め込み推定式を確立する。
• 切断関数を用いて、コンact商$\mathbb{R} \times \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$からの関数を$\mathbb{R}^2$に持ち上げ、埋め込み補題を適用する。
• バナッハのカテゴリ定理を適用して、$\mathcal{L}_*$が$\mathbb{R}$において稠密であることを示し、結果が一般の回転数クラスに適用可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零位相エントロピーをもつハミルトニアン系のディスク写像が混合的である可能性はあるか？
• RQ2 リウヴィル型回転数をもつ無理数的擬回転は$C^0$-剛性を示すか？
• RQ3 十分にリウヴィル的回転数をもつ系において、混合性の動的障害は存在するか？
• RQ4 擬擬正則曲線技法を用いて、シンプレクティック力学における$L^2$-推定式から$C^0$-剛性を導出可能か？
• RQ5 回転数の算術的性質が、反復写像の正則性および収束性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 境界回転数が$\mathcal{L}_*$に属する任意の無理数的擬回転は$C^0$-剛性を示す。すなわち、ある反復写像$\varphi^{n_j}$が一様に恒等写像に収束する。
• $\mathcal{L}_*$は$\mathbb{R}$の稠密部分集合であり、この結果は一般のリウヴィル数クラスに適用可能であることを示す。
• このような系は位相的混合的ではなく、特にレベーグ測度に関して強く混合的ではない。
• $C^0$-剛性の結果により、$\mathcal{L}_*$に属する回転数をもつすべての擬回転に対して混合的力学が排除され、エルゴディック階層における主要なギャップが閉じられた。
• 証明は、$n$に依存しない一様な定数をもつ、$\mathbb{R} \times \mathbb{R}/n\mathbb{Z}$上の関数に対する鋭い$L^2$から$C^0$への推定式に依存している。
• 主要な解析的道具は、周期的領域上で$L^\infty$-ノルムを$L^2$と$W^{1,\infty}$-ノルムの積で上から抑えるソボレフ型埋め込み不等式である。