[論文レビュー] Pseudocompact paratopological groups

Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

この論文は擬コンパクトな準位相群を調査し、このような群が位相群であるための必要十分条件を確立する。2-擬コンパクトな準位相群が位相群でない例を構成し、2-擬コンパクト群が擬コンパクトであること、およびハウスドルフなσ-コンパクトな擬コンパクトな準位相群がコンパクトな位相群であること、さらに積や正規部分群に関する追加結果を示す。

ABSTRACT

We obtain many results and solve some problems about pseudocompact paratopological groups. In particular, we obtain necessary and sufficient conditions when such a group is topological. (2-)pseudocompact paratopological groups that are not topological are constructed. It is proved that each 2-pseudocompact paratopological group is pseudocompact and that each Hausdorff \sigma-compact pseudocompact paratopological group is a compact topological group. Our particular attention is devoted to periodic and topologically periodic groups. In addition, we prove that the product of a nonempty family of pseudocompact paratopological groups is pseudocompact. We show that a paratopological group G is pseudocompact provided it has a normal subgroup N such that both N and the quotient paratopological group G/N are pseudocompact.

研究の動機と目的

• 擬コンパクトな準位相群が位相群であるための必要十分条件を特定すること。
• (2-)擬コンパクトな準位相群が位相群でない例を構成すること。
• ハウスドルフな準位相群における擬コンパクト性、σ-コンパクト性、コンパクト性の関係を調査すること。
• 積および商構成における擬コンパクト性の挙動を分析すること。
• 擬コンパクト性の文脈における周期的および位相的周期的な準位相群を研究すること。

提案手法

• 擬コンパクト性の条件下での準位相群の構造を分析するために、位相的および代数的技法を用いる。
• 特定の群の位相を用いて反例を構成し、(2-)擬コンパクト群における非位相的性質を示す。
• 正規部分群および商群の性質を適用して、擬コンパクト性を全体の群へ拡張する。
• σ-コンパクト性と擬コンパクト性およびハウスドルフ分離性を組み合わせるとコンパクト性が導かれるということを証明する。
• 任意の非空な擬コンパクトな準位相群の族の積において、擬コンパクト性が保たれることを確立する。
• 周期性および位相的周期性を分析し、擬コンパクトな状況における構造的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、擬コンパクトな準位相群は必然的に位相群となるか？
• RQ2 (2-)擬コンパクトな準位相群が位相群でないものとして存在可能であり、その場合、どのように構成できるか？
• RQ3 すべての2-擬コンパクトな準位相群は擬コンパクトであるか？
• RQ4 非空な擬コンパクトな準位相群の族の積は、依然として擬コンパクトであるか？
• RQ5 正規部分群が擬コンパクトで、商群も擬コンパクトであるような準位相群が、どのような条件下で擬コンパクトとなるか？

主な発見

• 正規部分群および商群の両方が擬コンパクトであるならば、準位相群は擬コンパクトである。
• 任意の非空な擬コンパクトな準位相群の族の積は、擬コンパクトである。
• すべての2-擬コンパクトな準位相群は擬コンパクトである。
• ハウスドルフなσ-コンパクトな擬コンパクトな準位相群は、コンパクトな位相群である。
• 位相群でない(2-)擬コンパクトな準位相群が存在し、これにより潜在的な同値性の反例が得られる。
• 擬コンパクト性は、商の形成および積の構成、正規部分群の拡張においても保たれる。