[論文レビュー] Pseudodifferential Operators and Regularized Traces

Matthias Lesch|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は擬微分作用素の文脈における正則化されたトレースに関する包括的なサーベイを提供し、ヒルベルト空間トレース、コンツェビッチ＝ヴィシャイクの正則化トレース、ディクスミエールトレースの間の関係を確立する。パラメータ依存の微分作用素の計算とハダマールの有限部分による正則化を用いた関数解析的枠組みを導入し、非整数位の作用素へのトレースの拡張を実現する。また、ファイバーに沿った積分とトム同型写像を用いた、正則化積分のコhomological特徴付けを証明し、ペイチャのストークス性に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

This paper is based on talks delivered in summer 2008 at the Conference on Motives, QFT and Pseudodifferential Operators in Boston, and at the Trimester programme Geometry and Physics, Hausdorff Institute for Mathematics in Bonn The paper surveys the pseudodifferential calculus with parameter, resolvent expansions, Dixmier trace, noncommutative residue, Kontsevich-Vishik canonical trace as well some aspects of regularized integrals on spaces of symbols.

研究の動機と目的

• ハダマールの有限部分正則化を用いて、ヒルベルト空間トレースを非整数位の擬微分作用素へ拡張すること。
• コンスの研究に従い、非可換リーマントレースをディクスミエールトレースとしての関数解析的解釈を確立すること。
• パラメータ依存擬微分作用素の代数におけるトレースの存在と一意性を研究すること。
• ペイチャの正則化積分の特徴付けを一般化するために、係数が記号関数からなるFréchet代数を係数とするR^n上のde Rhamコhomologyを分析すること。
• 係数が記号関数のFréchet代数である微分形式に対して、トム同型写像を確立し、ファイバーに沿った積分とコhomologyを結びつけること。

提案手法

• 擬微分作用素のパラメータ依存の微分作用素の計算を用い、リゾルベントトレースの漸近展開を導出する。
• ハダマールの有限部分正則化を適用し、トレース公式 Tr(A) = ∫k_A(x,x)dx をトレースクラスでない作用素へ拡張する。
• パラメータ依存作用素に対する記号値トレースを導入し、ディクスミエールトレース構成を用いてリザルトトレースと関係付ける。
• 係数が記号関数のFréchet代数である微分形式のファイバーに沿った積分を定義し、外微分と整合性を保つようにする。
• トム同型写像を用いて、記号係数をもつR^n上のコhomologyと球面のde Rhamコhomologyおよび局所コhomologyを結びつける。
• タイプIおよびIIのFréchet代数Aについて、H^k A(R^n)のコhomology群を分析し、タイプIIではk=0,1,nにおいてCに同型であり、それ以外では消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間トレースは、どのように非整数位の擬微分作用素へ拡張可能か？
• RQ2 ウォドジツキ＝ギュイリームの非可換リーマントレースは、ディクスミエールトレースとしての関数解析的解釈はどのように与えられるか？
• RQ3 パラメータ依存擬微分作用素の微分作用素の計算から、リゾルベントトレースの漸近展開はどのように生じるか？
• RQ4 ハダマールの有限部分正則化は、トレースクラスでない作用素上のトレースを正則化するために果たす役割は何か？
• RQ5 記号係数をもつR^n上のde Rhamコhomologyは、正則化積分のストークス性をどのように反映するか？

主な発見

• コンツェビッチ＝ヴィシャイクの正則化トレースは、ハダマールの有限部分正則化を用いて、非整数位の擬微分作用素へのヒルベルト空間トレースの拡張を実現する。
• 擬微分作用素上のリザルトトレースは、ディクスミエールトレースとして特定され、非可換リーマントレースの関数解析的解釈が与えられる。
• 定数関数1を含むタイプIIのFréchet代数について、H^k A(R^n)はk=0,1,nにおいてCに同型であり、それ以外では消える。
• タイプIの代数について、compactly suppored形式の包含写像はコhomologyにおいて同型を誘導し、de Rhamコhomologyの構造を保つ。
• ファイバーに沿った積分は、k ≥ 1についてH^k A_0(R^n) → H^{k-1}(S^{n-1})の同型を誘導し、ペイチャのストークス性に関する結果を一般化する。
• A_0([0,∞) × M)について、トム同型写像が成り立ち、π_*はすべてのk ≥ 0についてH^k A_0([0,∞) × M) → H^{k-1}_dR(M)の同型を誘導する。