[論文レビュー] The noncommutative residue and canonical trace in the light of Stokes' and continuity properties

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Jun 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、線形形式が記号上での偏導関数での消滅（Stokesの性質）を満たすことに基づき、特定のクラスの古典的擬微分作用素における標準的トレースおよび非可換残留の一意性を確立する。非整数順位作用素および奇数次元・偶数次元における奇数クラス・偶数クラス作用素について、標準的トレースが括弧上での消滅を満たす連続線形汎関数として一意であることを証明し、欠損公式および正則化による全空間的密度としての標準的トレースの拡張を示す。

ABSTRACT

We show that the noncommutative residue density, resp. the cut-off regularised integral are the only closed linear, resp. continuous closed linear forms on certain classes of symbols. This leads to alternative proofs of the uniqueness of the noncommutative residue, resp. the canonical trace as linear, resp. continuous linear forms on certain classes of classical pseudodifferential operators which vanish on brackets. The uniqueness of the canonical trace actually holds on classes of classical pseudodifferential with vanishing residue density which include non integer order operators in all dimensions and odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions. The description of the canonical trace for non integer order operators as an integrated global density on the manifold is extended to odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions on the grounds of defect formulae for regularised traces of classical pseudodifferential operators.

研究の動機と目的

• 記号上でのStokesの性質を用いて、非可換残留および標準的トレースの統一的特徴付けを提供すること。
• 非整数順位および奇数クラス・偶数クラス作用素を含む、残留密度が消える特定のクラスの古典的擬微分作用素上における標準的トレースの一意性を確立すること。
• 正則化および欠損公式を用いて、非整数順位作用素および奇数クラス（奇数次元）・偶数クラス（偶数次元）作用素に対して、標準的トレースを全空間的に定義された積分密度として拡張すること。
• 共対換式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{\rm Op}(\partial_{\xi_i}p)$ を用いて、線形形式が作用素の括弧上で消えることと、フーリエ変数における偏微分上で消えることの同値性を明確にすること。

提案手法

• 記号上での線形形式をStokesの性質（フーリエ変数 $\xi$ における偏微分上で消えること）によって特徴付け、切り捨て正則化積分が一意なこのような形式であることを同定する。
• 共対換式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{ m Op}(\partial_{\xi_i}p)$ を用いて、作用素の括弧上で消えることと、記号における微分上で消えることの関係を結ぶ。
• 局所的な記号上での形式を座標チャート上で貼り合わせるために分割単位を用い、全空間的線形性および標準的トレースに比例することを示す。
• 適切な楕円的作用素 $Q$ を用いた $A(z) = A Q^{-z}$ による正則化を用い、正則化トレース $\mathrm{TR}(A(z))$ を定義する。これは非整数順位または奇数クラス・偶数クラス作用素に対して、$z=0$ でメロモルフィックかつ正則である。
• 文献[PS]の欠損公式を活用し、奇数次元における奇数クラス作用素および偶数次元における偶数クラス作用素に対して、標準的トレースが $M$ 上で正しく定義された全空間的密度として成り立つことを示す。
• 任意の残留が消える同次的記号が、滑らかさを除いて微分の和として表せることを用い、一意性問題を記号上の閉じた線形形式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的トレースは、括弧上で消える連続線形汎関数として、古典的擬微分作用素上ですべての定数倍を除き一意に特徴づけられるか？
• RQ2 記号上でのStokesの性質を用いて、非可換残留および標準的トレースはどのように一意に特徴づけられるか？
• RQ3 どのクラスの古典的擬微分作用素において、標準的トレースが全空間的積分密度として正しく定義されるか？
• RQ4 残留密度が標準的トレースの一意性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 正則化 $A(z) = A Q^{-z}$ による正則化が、非整数順位および奇数クラス・偶数クラス作用素に対して、標準的トレースの連続性および全空間的定義をどのように保証するか？

主な発見

• 非整数順位の古典的擬微分作用素上では、標準的トレースは括弧上で消える連続線形形式として（定数倍を除き）一意である。
• 奇数次元における奇数クラス作用素および偶数次元における偶数クラス作用素上では、標準的トレースは括弧上で消える唯一の連続線形形式として一意に特徴づけられる。
• 非整数順位作用素および奇数次元における奇数クラス（偶数次元における偶数クラス）作用素に対して、正則化および欠損公式を用いて、標準的トレースは $M$ 上で全空間的に定義された積分密度に拡張可能である。
• 共対換式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{ m Op}(\partial_{\xi_i}p)$ を用いて、線形形式が作用素の括弧上で消えることと、フーリエ変数 $\xi$ における偏微分上で消えることの同値性が示された。
• 切り捨て正則化積分 $-\hskip-10.0pt\int_{\mathbb{R}^n}$ は記号上での唯一の閉じた線形形式であり、非可換残留は古典的記号上での唯一のこのような形式である。
• 正則化 $A(z) = A Q^{-z}$ における適切な楕円的作用素 $Q$ の選択に依存せず、トレース定義の堅牢性が保証される。