[論文レビュー] Pseudorandom Bits for Non-Commutative Programs

Bläser, Markus, Thomas M. Church|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、行列乗算の ω = 2 を示すための群論的アプローチを調査し、有界指数の冪零群（やや弱い条件を満たすもの）および3つのヤング部分群を用いた対称群が、この上限に到達できないことを示している。非アーベル群への多項式法の一般化として、増幅イデアルの冪を用い、STPP構成のサイズを制限する収縮率を確立することで、この枠組みにおける有効な群の探索を狭めている。

ABSTRACT

Determining the exponent of matrix multiplication ω is one of the central open problems in algebraic complexity theory. All approaches to design fast matrix multiplication algorithms follow the following general pattern: We start with one "efficient" tensor T of fixed size and then we use a way to get a large matrix multiplication out of a large tensor power of T. In the recent years, several so-called barrier results have been established. A barrier result shows a lower bound on the best upper bound for the exponent of matrix multiplication that can be obtained by a certain restriction starting with a certain tensor. We prove the following barrier over C: Starting with a tensor of minimal border rank satisfying a certain genericity condition, except for the diagonal tensor, it is impossible to prove ω = 2 using arbitrary restrictions. This is astonishing since the tensors of minimal border rank look like the most natural candidates for designing fast matrix multiplication algorithms. We prove this by showing that all of these tensors are irreversible, using a structural characterisation of these tensors. To obtain our result, we relate irreversibility to asymptotic slice rank and instability of tensors and prove that the instability of block tensors can often be decided by looking only on the sizes of nonzero blocks.

研究の動機と目的

• Cohn–Umansの群論的枠組みにおいて、ω = 2 を証明できる非アーベル群は何かを特定すること。
• キャップセット予想で用いられた多項式法を、特に冪零群にまで一般化すること。
• 3つのヤング部分群を用いた場合、対称群 Sn がこのような構成の宿主として成立しないことを排除すること。
• ω = 2 の探索において、群の族を体系的に除外する方法を開発し、正の結果と負の結果のバランスを取ること。

提案手法

• 次数のグレーディングを増幅イデアルの冪 I^k / I^{k+1} に置き換えることで、スライスランクと多項式法を非アーベル群に一般化する。
• 冪零群における I^k / I^{k+1} の次元の収縮率を、STPP構成サイズをバウンドするための主要な不変量として分析する。
• これらの次元に集中不等式を適用し、有界指数の冪零群における STPP 構成の上界を証明する。
• 繊細な帰納法による議論を用いて、対称群や交代群において、3つのヤング部分群が非自明な ω のバウンドをもたらさないことを示す。
• 代数的に閉じた体上での平坦ランクの加法性とザリスキ開集合の性質を活用し、非アーベル設定でも幾何的直観を保つ。
• 問題を群代数の乗法テンソルの制限部分空間における行列ランクの研究に還元し、フランドスの定理を用いて矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界指数の冪零群で、やや弱い追加条件を満たすものについて、Cohn–Umans枠組みで ω = 2 を証明できるか？
• RQ2 対称群 Sn は、3つのヤング部分群を用いた STPP 構成により、非自明な ω のバウンドを達成できるか？
• RQ3 キャップセット問題で用いられた多項式法を、増幅イデアルを介して非アーベル群に一般化できるか？
• RQ4 冪零群における I^k / I^{k+1} の収縮率は、STPP 構成サイズをバウンドするのに十分か？ そして、それによって ω = 2 を除外できるか？
• RQ5 対称群には、自然なヤング部分群埋め込みを用いて ω = 2 を達成するのを妨げる構造的障害があるか？

主な発見

• 有界指数の冪零群でやや弱い条件を満たすものについては、STPP 構成が |G|^{1−ε}（ある ε > 0）で有界であるため、ω = 2 を証明できない。
• 冪零群における I^k / I^{k+1} の次元の収縮率が、STPP 構成サイズを制限する主要因であることが示され、非アーベル設定への多項式法の一般化が実現された。
• 3つのヤング部分群を用いた場合、対称群 Sn は非自明な ω のバウンドを達成できないため、自然で広く使われている構成戦略を除外できる。
• 行列乗算テンソル ⟨n,n,n⟩ の平坦ランクとスライスランクはともにフルであるため、非自明なスライスランクのバウンドを得るには、|G| を割り切る特性を持つ体上で作業する必要がある。
• 平坦ランクは直和に関して加法的であり、この性質を用いて、行列乗算テンソルの直和のスライスランクがフルであることを示した。これにより、半単純群代数はフルスライスランクを持つことが示された。
• 巡回群 Z/nZ に対しては、任意の特性において、群代数の平坦ランクとスライスランクは |G| に等しく、以前の p-群に対するバウンドがタイトであることが確認された。