[論文レビュー] Pseudorotations of the 2-disc and Reeb flows on the 3-sphere

Peter Albers, Hansjörg Geiges+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元円板上の無理数的擬回転—面積を保存する微分同相写像で、固定点が1つで他に周期的軌道を持たないもの—が、3次元球面上のリーブ流における円板型のグローバルな断面のポincare再帰写像として実現可能であることを確立している。Lermanの接触切断構成を用いて、$S^3$ 上の動的凸な接触形式に対して、このような流が存在することを示し、周期的軌道は正確に2つである：固定点と断面の境界。

ABSTRACT

We use Lerman's contact cut construction to find a sufficient condition for Hamiltonian diffeomorphisms of compact surfaces to embed into a closed 3-manifold as Poincaré return maps on a global surface of section for a Reeb flow. In particular, we show that the irrational pseudorotations of the 2-disc constructed by Fayad-Katok embed into the Reeb flow of a dynamically convex contact form on the 3-sphere.

研究の動機と目的

• コンパクトな境界付き曲面のハミルトニアン微分同相写像が、閉じた3次元多様体上のリーブ流のPoincaré再帰写像として実現可能となる十分条件を特定すること。
• 特定の面積保存微分同相写像（特に無理数的擬回転）を、3次元球面上のリーブ力学に埋め込むという双対的問題に取り組むこと。
• フェイアド–カトクの例における境界のジェットが悪くてもよいハミルトニアン微分同相写像を扱えるように、接触切断構成を拡張すること。
• このような擬回転に対応する$S^3$上のリーブ流が、正確に2つの単純な周期的軌道（固定点と断面の境界）しか持たないことを示すこと。
• 得られる接触形式が動的凸であることを確立し、グローバルな断面の存在に必要な条件を満たしていること。

提案手法

• 固定点を生成するハミルトニアン関数$H_s$から導かれる接触形式を備えた積多様体$S^1 \times D^2$に、Lermanの接触切断構成を適用する。
• ハミルトニアンの境界における$\infty$-ジェット条件を、商空間$S^3$上のリーブ流が円板型グローバルな断面をもつことの基準として用いる。
• 内部で滑らかで、像が滑らかな円板であるが、境界上で滑らかでない$D^2$の位相的埋め込みを構成し、内部での再帰写像が擬回転と一致することを保証する。
• 固定点近傍での$H_s$の局所的挙動を用いて、周期的軌道のConley–Zehnder指数を計算することで、$S^3$上の接触構造が標準的かつ動的凸であることを検証する。
• バインディング軌道の自己自己リンク数を$\mathtt{sl}(B) = -1$として計算し、円板型グローバルな断面の存在に必要な位相的条件を満たしていることを確認する。
• 断面が生成するオープンブック分解を用い、バインディングを境界とし、ページをリーブ流による断面の平行移動とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きコンパクト曲面のハミルトニアン微分同相写像が、閉じた3次元多様体上のリーブ流のPoincaré再帰写像として実現可能となる条件は何か？
• RQ2 フェイアド–カトクの無理数的擬回転（原点以外に周期的点を持たない）は、$S^3$ 上のリーブ流に埋め込めるか？
• RQ3 無理数的擬回転を生成するハミルトニアンに接触切断構成を適用した場合、$S^3$ 上の接触形式が動的凸になるか？
• RQ4 このような擬回転から構成されたリーブ流の周期的軌道のConley–Zehnder指数は何か？また、生成するハミルトニアンの局所的挙動とどのように関係するか？
• RQ5 得られるオープンブック分解におけるバインディング軌道の自己リンク数は、円板型グローバルな断面の存在に必要な条件を満たすために$-1$に等しいか？

主な発見

• フェイアド–カトクの無理数的擬回転は、$S^3$ 上のリーブ流における円板型グローバルな断面のPoincaré再帰写像として埋め込まれる。
• $S^3$ 上のこのような擬回転に対応するリーブ流は、正確に2つの単純な周期的軌道しか持たない：原点の固定点と断面の境界。
• 接触形式は、Conley–Zehnder指数の計算により動的凸であることが確認され、$\mathtt{CZ}(C) = 2m+1$（$m \in \mathbb{N}$ で、$h + a + 1 \in (m, m+1)$ を満たすもの）となる。
• バインディング軌道の自己リンク数は$\mathtt{sl}(B) = -1$であり、円板型グローバルな断面の存在に必要な条件を満たしている。
• この構成により、標準的接触構造と整合する$S^3$上の接触オープンブック分解が得られ、断面がページ、境界がバインディングとなる。
• この方法は、境界で$\infty$-ジェット条件を満たすハミルトニアンを生成するハミルトニアン微分同相写像に一般に適用可能であり、滑らかさが良好でないハミルトニアンの限界を越える。