[論文レビュー] Pseudospectra of the Schroedinger operator with a discontinuous complex potential

Raphaël Henry, David Krejčiřı́k|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R} $ 上のシュレーディンガー作用素 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + i\,\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits(x) $ の擬スペクトル特性を調査する。ポテンシャルは有界であり、スペクトルは半帯に含まれるが、リゾルベントノルムが無限遠で発散するため、非自明な擬スペクトルが生じる。これは、微小な摂動に対しても強いスペクトル不安定性を示しており、自己随伴的または弱く結合された系とは対照的である。

ABSTRACT

We study spectral properties of the Schroedinger operator with an imaginary sign potential on the real line. By constructing the resolvent kernel, we show that the pseudospectra of this operator are highly non-trivial, because of a blow-up of the resolvent at infinity. Furthermore, we derive estimates on the location of eigenvalues of the operator perturbed by complex potentials. The overall analysis demonstrates striking differences with respect to the weak-coupling behaviour of the Laplacian.

研究の動機と目的

• 非自己随伴シュレーディンガー作用素のスペクトル不安定性を、不連続な虚部ポテンシャルを有するものとして分析すること。
• 滑らかさの欠如および本質的スペクトルの存在下での擬スペクトルの構造を調査すること。
• 自己随伴的または滑らかな非自己随伴作用素の弱い結合領域と比較して、本作用素の挙動を明らかにすること。
• Birman-Schwingerの原理を用いて、複素摂動 $ V \in L^1(\mathbb{R}, (1+x^2)dx) $ の下での固有値位置の厳密な推定を確立すること。
• 有界で不連続なポテンシャルに対しても、スペクトル不安定性が生じることを示し、古典的期待とは対照的であることを明らかにすること。

提案手法

• 非同次方程式の解を用いて、$ L^2(\mathbb{R}) $ 上のシュレーディンガー作用素 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + i\,\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits(x) $ のリゾルベント核を明示的に構成すること。
• 擬スペクトルを定義 $ \sigma_\varepsilon(H) = \{ z \in \mathbb{C} : \|(H - z)^{-1}\| > \varepsilon^{-1} \} $ を用いて、リゾルベントノルム $ \|(H - z)^{-1}\| $ の作用素ノルムを分析すること。
• $ x = 0 $ におけるディリクレ境界条件を用いて、解を左半直線および右半直線成分に分解し、リゾルベント核の明示的計算を可能にすること。
• Birman-Schwingerの原理を応用し、複素ポテンシャル $ V \in L^1(\mathbb{R}, (1+x^2)dx) $ の下での固有値摂動を、演算子 $ K_z^D = |V|^{1/2}(H^D - z)^{-1}|V|^{1/2} $ のヒルベルト＝シュミットノルムを分析することで研究すること。
• リゾルベント核 $ \mathcal{R}_z^D(x,y) $ に対する一様な有界性を証明し、$ |\mathcal{R}_z^D(x,y)| \leq C(1 + |x| + |y|) $ を示す。これにより、ヒルベルト＝シュミットノルムの一様有界性が導かれる。
• 作用素 $ H $ の擬スペクトルと、そのディリクレ正則化版 $ H^D $ の擬スペクトルを比較し、$ H^D $ は非自明な擬スペクトルを持たないが、$ H $ は持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な虚部ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の擬スペクトルは、自己随伴的または滑らかな非自己随伴作用素とどのように異なるか？
• RQ2 ポテンシャルが有界であり、スペクトルが半帯に含まれる場合でも、スペクトル不安定性（擬スペクトルで測定される）が生じ得るか？
• RQ3 ポテンシャルの不連続性が、無限遠におけるリゾルベントノルムの発散を引き起こし、非自明な擬スペクトルを生じさせる役割は何か？
• RQ4 弱い結合の複素摂動が、スペクトル外に固有値を生成する程度は何か？ そして、その生成は定量的に記述可能か？
• RQ5 ディリクレ正則化版 $ H^D $ は $ H $ と同じスペクトルを持つにもかかわらず、非自明な擬スペクトルを持たないのはなぜか？ これは境界条件の役割に何を示唆するか？

主な発見

• シュレーディンガー作用素 $ H = -\frac{d^2}{dx^2} + i\,\mathop{\mathrm{sgn}}\nolimits(x) $ の擬スペクトルは非自明であり、リゾルベントノルム $ \|(H - z)^{-1}\| $ は、スペクトル $ \sigma(H) \subset \overline{\mathcal{S}} = [0,\infty) + i(-1,1) $ の任意の固定近傍を除き、任意に大きくなる。
• ポテンシャルが有界であり、スペクトルが半帯に含まれるにもかかわらず、リゾルベントの無限遠での発散により、スペクトルの外側に広がる非自明な擬スペクトルが生じる。これは、強いスペクトル不安定性を示している。
• ディリクレ正則化作用素 $ H^D $ は、スペクトル $ \sigma(H^D) = \mathbb{R}_+ + i\{ -1, +1 \} $ を共有するが、非自明な擬スペクトルを持たない。これは、$ H $ の非自明な擬スペクトルが $ x = 0 $ における境界条件の欠如に起因することを示している。
• 十分に小さい $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ V \in L^1(\mathbb{R}, (1+x^2)dx) $ を用いた摂動作用素 $ H^D_\varepsilon = H^D + \varepsilon V $ のスペクトルは変化せず、$ \sigma(H^D_\varepsilon) = \mathbb{R}_+ + i\{ -1, +1 \} $ である。これは、弱い結合固有値が存在しないことを示している。
• Birman-Schwinger作用素 $ K_z^D $ のヒルベルト＝シュミットノルムは一様に有界である：$ \|K_z^D\|_{\mathrm{HS}} \leq C \int_{\mathbb{R}} (1+x^2)|V(x)|\,dx $。これにより、多項式重み付き $ L^1 $-摂動に対するスペクトルの安定性が保証される。
• 本結果は、非自己随伴作用素に対して、仮想的束縛状態（すなわち、弱く結合した固有値）がディリクレ正則化の場合に出現しないことを示す、非自明なハーディー不等式の類似を確立している。