[論文レビュー] PT-Symmetric Pseudo-Hermitian Relativistic Quantum Mechanics With a Maximal Mass

V.N. Rodionov|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、γ₅に依存する質量項（m → m₁ + γ₅m₂）を有するフェルミオン場に対して、非ヒルベルト的でPT対称なハミルトニアンを有する相対論的量子場理論を提案する。非摂動的C作用素の構成を用いて、正定値内積を確立し、物理的質量スペクトルがm ≤ m_max = m₁²/(2m₂)で有界であることを証明する。これにより、反ド・ジッター運動量空間に基づくカダシュエフスキーの幾何的アプローチに等価な最大質量モデルが実現される。理論はこの質量限界内でのみPT対称性が保たれ、m = m_maxで相転移を示す。

ABSTRACT

The quantum-field model described by non-Hermitian, but a ${\cal PT}$-symmetric Hamiltonian is considered. It is shown by the algebraic way that the limiting of the physical mass value $m \leq m_{max}= {m_1}^2/2m_2$ takes place for the case of a fermion field with a $γ_5$-dependent mass term ($m ightarrow m_1 +γ_5 m_2 $). In the regions of unbroken $\cal PT$ symmetry the Hamiltonian $H$ has another symmetry represented by a linear operator $ \cal C$. We exactly construct this operator by using a non-perturbative method. In terms of $ \cal C$ operator we calculate a time-independent inner product with a positive-defined norm. As a consequence of finiteness mass spectrum we have the $\cal PT$-symmetric Hamiltonian in the areas $(m\leq m_{max})$, but beyond this limits $\cal PT$-symmetry is broken. Thus, we obtain that the basic results of the fermion field model with a $γ_5$-dependent mass term is equivalent to the Model with a Maximal Mass which for decades has been developed by V.Kadyshevsky and his colleagues. In their numerous papers the condition of finiteness of elementary particle mass spectrum was introduced in a purely geometric way, just as the velocity of light is a maximal velocity in the special relativity. The adequate geometrical realization of the limiting mass hypothesis is added up to the choice of (anti) de Sitter momentum space of the constant curvature.

研究の動機と目的

• γ₅に依存する質量を持つフェルミオン場に対して、非ヒルベルト的だがPT対称なハミルトニアンを有する相対論的量子場理論を確立すること。
• 標準的内積が負のノルムを引き起こすPT対称系における問題を解消するため、正定値内積を定義する非摂動的C作用素を構築すること。
• 質量スペクトルが有限かつm_max = m₁²/(2m₂)で有界であることを示すこと。これは最大質量仮説と整合的である。
• γ₅質量モデルが反ド・ジッター運動量空間に基づくカダシュエフスキーの幾何的最大質量モデルと等価であることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアンはH = α·p + (m₁ + γ₅m₂)βとして定義され、m₁ ≥ m₂の下で非ヒルベルト的だがPT対称的である。
• C作用素をC = [[0, (m₁−m₂)/m], [(m₁+m₂)/m, 0]]として、摂動論的でない方法で正確に構成し、C² = 1、[C, PT] = 0、[C, H] = 0を満たす。
• C作用素により、時間に依存しない内積⟨ψ|χ⟩_C = ⟨CPTψ|χ⟩が定義され、正定値ノルムが得られる。
• 未破れPT対称性と実固有値の要請から、代数的に質量限界m ≤ m_max = m₁²/(2m₂)が導かれる。
• 運動量空間が曲率M = m_maxを有する反ド・ジッター空間として実現されることにより、モデルがカダシュエフスキーの最大質量モデルと等価であることが示される。
• Exoticフェルミオンに対してはm = m₃ sinθ、m₄ = m₃ cosθ、通常のフェルミオンに対してはm = m₁ cosθ、m₂ = m₁ sinθというパラメータ化を行い、未破れPT対称性の領域をθ ∈ [0, π/2]にマッピングし、m_max = m / sin(2θ)を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 γ₅に依存する質量を持つ相対論的フェルミオン場に対して、非ヒルベルト的でPT対称なハミルトニアンが、実で有界な質量スペクトルをもたらすか？
• RQ2 標準的内積が負のノルムを引き起こすPT対称量子場理論において、正定値内積をどのように構築できるか？
• RQ3 この系における最大質量m_max = m₁²/(2m₂)の代数的起源は何か？また、PT対称性の未破れ領域とどのように関係するか？
• RQ4 γ₅質量モデルは、曲率Mの(反)ド・ジッター運動量空間に基づく幾何的最大質量モデルと等価か？
• RQ5 C作用素は、未破れPT相におけるハミルトニアンのユニタリ性と自己随伴性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 物理的質量スペクトルは、未破れPT対称性の要請から代数的に導かれるm ≤ m_max = m₁²/(2m₂)で有界である。
• C作用素はC = [[0, (m₁−m₂)/m], [(m₁+m₂)/m, 0]]として正確に構成され、C² = 1、[C, PT] = 0、[C, H] = 0を満たす。
• 内積⟨ψ|χ⟩_C = ⟨CPTψ|χ⟩は正定値であり、未破れPT相におけるハミルトニアンのユニタリ性と自己随伴性を保証する。
• モデルはm = m_maxで相転移を示し、PT対称性が破れ、スペクトルの一部が複素数になる。
• γ₅質量モデルはカダシュエフスキーの最大質量モデルと等価であり、運動量空間幾何は曲率M = m_maxの反ド・ジッター空間として実現される。
• Exoticフェルミオンに対してはm = m₃ sinθ、m₄ = m₃ cosθ、通常のフェルミオンに対してはm = m₁ cosθ、m₂ = m₁ sinθというパラメータ化により、未破れPT相がθ ∈ [0, π/2]にマッピングされ、m_max = m / sin(2θ)が得られる。