[論文レビュー] PT symmetry and supersymmetry

Miloslav Znojil|ArXiv.org|Sep 7, 2002

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Wittenの形式主義を一般化して、スパイク型調和振動子に対して${\cal PT}$対称ハミルトニアンを含む、量子力学における超対称性（SUSY）の新しい枠組みを導入する。複素化された径方向座標$ r \to r - i\varepsilon $を用いることで、特異的な遠心項を正則化し、未破れ${\cal PT}$対称性における実数固有値を有する非エルミート的SUSY構造を構築する。これにより、新たなSUSY同伴ハミルトニアンと、隠れた$sl(2,\mathbb{R})$代数的構造が明らかになる。

ABSTRACT

A re-formulated, non-Hermitian version of the Witten's supersymmetric quantum mechanics is presented. Its use of pseudo-Hermitian (so called PT symmetric) Hamiltonians is reviewed and illustrated via several forms of an innovated supersymmetric partnership between strongly singular ("spiked") harmonic oscillators.

研究の動機と目的

• Wittenの超対称量子力学を非エルミート的で${\cal PT}$対称なハミルトニアンへ拡張すること。
• 高次元量子系における遠心項特異性を複素座標正則化によって解消すること。
• 未破れ${\cal PT}$対称性下で実固有値を有する、スパイク型調和振動子に対する一貫性のある超対称構造を構築すること。
• 一般化されたSUSY枠組みに隠れた$sl(2,\mathbb{R})$リー代数的対称性を同定すること。

提案手法

• D次元のスパイク型調和振動子における遠心項を正則化するため、複素化された径方向座標$ r = x - i\varepsilon $を採用する。
• ${\cal PT}$対称性を保つpseudo-エルミート的ハミルトニアン$ H^{(\alpha)} = -\partial_r^2 + \frac{\alpha^2 - 1/4}{r^2} + r^2 $（$ \alpha > 0 $）を定義する。
• 一階微分作用素$ A^{(\gamma)} = \partial_r + W^{(\gamma)} $、$ B^{(\gamma)} = -\partial_r + W^{(\gamma)} $（$ W^{(\gamma)} = r - \frac{\gamma + 1/2}{r} $）を用いて、SUSY同伴ハミルトニアン$ H_{(L)}^{(\gamma)} $と$ H_{(R)}^{(\gamma)} $を構築する。
• ハミルトニアン$ H $がブロック対角で、$ Q $、$ \tilde{Q} $が超電荷として作用する、SUSY代数$ \{Q, \tilde{Q}\} = H $、$ \{Q, Q\} = \{\tilde{Q}, \tilde{Q}\} = 0 $を特定する。
• 2階微分作用素$ \mathbf{A}(\alpha) $とその随伴$ \mathbf{B}(\alpha) $を導出し、これらがハミルトニアン$ H^{(\alpha)} $と閉じた$sl(2,\mathbb{R})$代数を形成することを示す。
• ラゲール多項式に関する恒等式を用いて、未破れ${\cal PT}$対称性下で固有値が実数のままであることを示し、対称性の自発的破れ時にも部分的に実数固有値が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wittenの超対称量子力学を非エルミート的で${\cal PT}$対称なハミルトニアンへ一貫して拡張できるか。
• RQ2 径方向座標$ r \to r - i\varepsilon $の複素化が、スパイク型調和振動子における遠心特異性をどのように正則化するか。
• RQ3 ${\cal PT}$対称性領域におけるSUSY同伴ハミルトニアンの構造は何か。また、それらは実固有値をもたらすか。
• RQ4 一般化された${\cal PT}$対称SUSY枠組みに、隠れた$sl(2,\mathbb{R})$代数的構造が出現するか。
• RQ5 ${\cal PT}$対称性が自発的に破れた場合でも、部分的に実固有値を有するスペクトルが得られるか。

主な発見

• 複素座標シフト$ r \to r - i\varepsilon $は、スパイク型調和振動子における遠心項を効果的に正則化し、一貫性のある${\cal PT}$対称量子力学的枠組みを実現する。
• 未破れ${\cal PT}$対称性下では、SUSY同伴ハミルトニアン$ H_{(L)}^{(\gamma)} $と$ H_{(R)}^{(\gamma)} $は完全に実数固有値を有し、各$ N $において4重項のエネルギー$ 4N+4\alpha $、$ 4N+4 $、$ 4N $、$ 4N-4\alpha $を形成する。
• 実数$ \gamma $に対して、3つの明確なSUSY領域が存在する：大きな負の$ \gamma $、小さな負の$ \gamma $、正の$ \gamma $。それぞれで同伴関係とエネルギーパターンが異なる。
• ハミルトニアン$ H^{(\alpha)} $は$ H^{(\alpha)} = \frac{1}{8} \left( \mathbf{A}(\alpha)\mathbf{B}(\alpha) - \mathbf{B}(\alpha)\mathbf{A}(\alpha) \right) $を満たし、正規化された生成子とともに閉じた$sl(2,\mathbb{R})$代数を形成する。
• 一般化されたSUSY系の固有値は$ \Omega_N^{(\gamma)} = 16N(N + \gamma) $で与えられ、4階微分方程式$ \mathbf{G}_{(L/R)} |N^{(\gamma)}\rangle = \Omega_N^{(\gamma)} |N^{(\gamma)}\rangle $を満たす。
• ${\cal PT}$対称性が自発的に破れた場合（例：複素$ \gamma = i\delta $）でも、固有値スペクトルは部分的に実数のままであり、特定の多重項、例えば$ E_{(L)}^{(+\alpha)} = 4n $、$ E_{(L)}^{(-\alpha)} = E_{(R)}^{(-\beta)} = 4n - 4\alpha $、$ E_{(R)}^{(+\beta)} = 4n + 4 $が得られる。