[論文レビュー] Pullback Attractors for Non-autonomous Reaction-Diffusion Equations on R^n

Bixiang Wang|ArXiv.org|Mar 29, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非-autonomous反応拡散方程式が $ ^n$ 上で定義され、外部項が非有界である場合に対しても、コンパクトでないSobolev埋め込みの欠如を補うために一様な尾部推定を用いることで、プルバックグローバルアトラクターの存在を確立する。主な貢献は、任意の成長率を有する非線形項に対して、$L^2( ^n)$ および $H^1( ^n)$ における漸近的コンパクト性とアトラクターの存在を証明することであり、従来のSobolev型成長条件を要件としていた研究を拡張する。

ABSTRACT

We study the long time behavior of solutions of the non-autonomous Reaction-Diffusion equation defined on the entire space R^n when external terms are unbounded in a phase space. The existence of a pullback global attractor for the equation is established in L^2(R^n) and H^1(R^n), respectively. The pullback asymptotic compactness of solutions is proved by using uniform a priori estimates on the tails of solutions outside bounded domains.

研究の動機と目的

• 非有界領域 $ ^n$ 上で非-autonomous反応拡散方程式が外部項が非有界である場合に対しても、プルバックグローバルアトラクターの存在を確立すること。
• 非有界領域におけるSobolev埋め込みの非コンパクト性を補うために、解の外領域における一様な尾部推定を開発すること。
• $L^2( ^n)$ および $H^1( ^n)$ における漸近的コンパクト性を証明すること。この際、非線形項 $f$ がSobolev型成長条件を満たす必要がないことを示すこと。
• 非-autonomous PDEの理論を、一般の非線形項および非有界な外力を持つ $ ^n$ 上に拡張すること。

提案手法

• 大きな有界領域の外における解の尾部に対する一様事前推定の手法を用い、漸近的挙動を制御する。
• 尾部推定技術を用いて、$L^2( ^n)$ および $H^1( ^n)$ におけるプルバック漸近的コンパクト性を証明し、エネルギー方程式の手法を避ける。
• $ ^n$ 上の非-autonomous系に対してコサイクルフレームワークを構築し、プルバック力学系を定義する。
• 一様な有界性と尾部推定に基づく $H^1( ^n)$ 内での列の収束に基づくコンパクト性の議論を用いる。
• プルバック吸収集合と $H^1( ^n)$ ノルムにおける漸近的コンパクト性を用いて、アトラクターの存在を確立する。
• 包含閉包の宇宙 $ ilde{rak{D}}_ ho$ と非-autonomous力学系におけるプルバックアトラクターの定義に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部力が非有界である非-autonomous反応拡散方程式に対して、$ ^n$ 上にプルバックグローバルアトラクターが存在しうるか？
• RQ2 Sobolev埋め込みが非コンパクトである非有界領域において、どのように漸近的コンパクト性を確立できるか？
• RQ3 Sobolev型成長に制限されない任意の成長率を有する非線形項に対しても、アトラクターの存在を証明できるか？
• RQ4 尾部推定法は、非-autonomous PDEの漸近的コンパクト性を証明する際に、エネルギー方程式の手法に代わって用いることができるか？

主な発見

• 外部項が非有界で、非線形項の成長が任意のものである非-autonomous反応拡散方程式に対して、$L^2( ^n)$ にプルバックグローバルアトラクターが存在する。
• $L^2( ^n)$ におけるプルバック漸近的コンパクト性は、大きな球の外における解の尾部に対する一様な推定を用いて証明された。
• $H^1( ^n)$ に対しても、プルバックグローバルアトラクターの存在がさらに確立され、$L^2$ アトラクターと解の列の $H^1$ 有界性に依存している。
• アトラクター $igracevert \mathcal{A}(\tau)\big\rbrace_{\tau\in\mathbb{R}}$ は $H^1( ^n)$ でコンパクトであり、不変であり、宇宙 $ ilde{rak{D}}_\rho$ 内のすべての集合を $H^1$ ノルムで吸引する。
• エネルギー方程式の手法を避けて、直接的な尾部推定技術を用いることで、一般の非線形項に適用可能である。
• 従来、$f$ がSobolev成長条件を満たす必要があった研究を一般化し、任意の成長率にまで理論を拡張した。