[論文レビュー] Punctured holomorphic curves and Lagrangian embeddings

Kai Cieliebak, Klaus Mohnke|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、穴あき全純曲線とネックストレッチの技法を用いて、ラグランジュ埋め込みにおける新しいシンプレクティック制約を確立する。Audinの予想を証明し、$ℝ^n$ 内の任意のラグランジュトーラスが、マスロフ指数2で、面積が $π/(n+1)$ 未満の全純ディスクを有することを示す。これにより、新しいシンプレクティック容量が得られ、ユニルールド多様体への埋め込みの障害が得られる。

ABSTRACT

We use a neck stretching argument for holomorphic curves to produce symplectic disks of small area and Maslov class with boundary on Lagrangian submanifolds of nonpositive curvature. Applications include the proof of Audin's conjecture on the Maslov class of Lagrangian tori in linear symplectic space, the construction of a new symplectic capacity, obstructions to Lagrangian embeddings into uniruled symplectic manifolds, a quantitative version of Arnold's chord conjecture, and estimates on the size of Weinstein neighbourhoods. The main technical ingredient is transversality for the relevant moduli spaces of punctured holomorphic curves with tangency conditions.

研究の動機と目的

• $ℝ^n$ 内のラグランジュトーラスのマスロフ類に関するAudinの予想を解決すること。
• ラグランジュトーラス上に境界を持つディスクの最小シンプレクティック面積に基づく新しいシンプレクティック容量を構成すること。
• ユニルールドシンプレクティック多様体へのラグランジュ埋め込みの障害を確立すること。
• シンプレクティック幾何学を用いて、Arnoldのコード予想の定量的バージョンを提示すること。
• 全純曲線技法を用いて、Weinstein近傍のサイズの推定を行うこと。

提案手法

• 穴あき全純曲線に対するネックストレッチの議論を適用し、シンプレクティック面積とマスロフ指数を制御する。
• 接する条件を満たす穴あき曲線のモジュライ空間に対する横断的技法を用い、長年の非単調な横断性の問題を解決する。
• 埋め込まれたラグランジュトーラス上の最小シンプレクティック面積の上限として、新しいシンプレクティック容量 $c_L(X,\omega)$ を定義する。
• 標準的シンプレクティック形式を伴う $ℝ\mathbb{P}^n$ にこの構成を適用し、合計面積 $\leq \pi$ の $n+1$ 個のディスクが存在することを示す。
• シンプレクティック還元とラグランジュ近傍定理を用いて、単位球内のハミルトニアン同倫を分析する。
• 全純平面と漸近的測地線を用いて、ラグランジュ部分多様体上のホモロジー生成を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^n$ 内のラグランジュトーラスは、マスロフ指数2で、小さなシンプレクティック面積の全純ディスクを常に有するか？
• RQ2 ラグランジュトーラス上に境界を持つディスクの最小シンプレクティック面積を用いて、新しいシンプレクティック容量を定義できるか？
• RQ3 穴あき全純曲線は、ユニルールドシンプレクティック多様体へのラグランジュ埋め込みにどのような障害をもたらすか？
• RQ4 全純曲線不変量を用いて、Arnoldのコード予想を定量的命題に強化できるか？
• RQ5 ラグランジュトーラス上に存在する全純ディスクの境界ループは、常にその第一ホモロジー群を生成するか？

主な発見

• Audinの予想が証明された：$ℝ^n$ 内の任意のラグランジュトーラスは、マスロフ指数2で、シンプレクティック面積 $\leq \pi/(n+1)$ の全純ディスクを有する。
• $ℝ\mathbb{P}^n$ 内のクリフォードトーラスに対しては、面積 $\pi/(n+1)$、マスロフ指数2の全純ディスクが $n+1$ 個存在し、境界ループが $H_1(T^n)$ を生成する。
• $ℝ\mathbb{P}^2$ 内のチェカノフトーラスに対しては、ディスクの境界ループは $H_1(T^2)$ を生成しない。これは、Viterboの問いに否定的に答えている。
• 新たなシンプレクティック容量は、単調性、自己相似性、非自明性を満たす。$c_L(B^{2n}(1)) = \pi/n$ および $c_L(Z^{2n}(1)) = \pi$ である。
• 容量 $c_L$ は、球体とシリンダーを区別する。多くの既知の容量とは異なり、$c_L(B^{2n}(1)) < c_L(Z^{2n}(1))$ が成り立つ。
• 定理1.22より得られる推定 $c^{{\mathbb{C}}{\mathbb{P}}^{n}}(T^{n}) \geq 2(n+1)$ は、$n \geq 2$ のとき、体積に基づく推定 $C_n$ よりもきびしい。