[論文レビュー] Pure exact structures and the pure derived category of a scheme

Sergio Estrada, James Gillespie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、閉じた対称モノイダルグロテンデック圏における$λ$-純粋性を用いて、スキームの$⋯$-純粋導来圏を導入する。これは、$⋯$-純粋分解型複体を自明対象とする、非有界なチェーン複体の圏に、発生成可能でインジェクティブなモデル構造を構成する。主な貢献は、$⋯$-純粋インジェクティブなモデル構造を通じたホモトピー論的実現であり、特に、準代数的スキーム上の準連接層および、純粋導来圏と平坦層の導来圏との同値性に応用する。

ABSTRACT

Let $\mathcal C$ be closed symmetric monoidal Grothendieck category. We define the pure derived category with respect to the monoidal structure via a relative injective model category structure on the category $\mathbf{C}(\mathcal C)$ of unbounded chain complexes in $\mathcal C$. We use $λ$-Purity techniques to get this. As application we define the stalkwise pure derived category of the category of quasi--coherent sheaves on a quasi-separated scheme. We also give a different approach by using the category of flat quasi--coherent sheaves.

研究の動機と目的

• 局所的に完全に生成された圏の平坦モジュールの導来圏と同値である、純粋導来圏の同値性を示す。
• 非アフィンスキームにおいて、カテゴリカル純粋性が幾何的純粋性よりも厳密に強いという乖離を解消する。
• 非有界チェーン複体の圏に、発生成可能でインジェクティブなモデル構造を構成し、$⋯$-純粋分解型複体を自明対象とするホモトピー論的モデルを提供する。
• 局所的に有限生成された圏の純粋導来圏が、その平坦モジュールの導来圏と同値であることを示す。
• 閉じた対称モノイダルグロテンデック圏における$λ$-純粋性と$⋯$-純粋インジェクティブなモデル構造を用いて、スキームへの純粋導来圏理論の拡張を図る。

提案手法

• 局所的に$λ$-生成されたグロテンデック圏における$λ$-純粋性理論を用いて、$⋯$-純粋モノモルフィズムと純粋完全系列を定義する。
• 閉じた対称モノイダルグロテンデック圏$\mathcal{C}$における非有界チェーン複体の圏$\mathbf{C}(\mathcal{C})$に、発生成可能でインジェクティブなモデル構造を構成し、自明対象を$⋯$-純粋分解型複体とする。
• ファイブレーション対象を、すべての$S \in \mathcal{C}$に対して$\otimes$-ファンクターと併せて完全性を満たす$⋯$-純粋インジェクティブ成分を持つ複体として定義し、DGインジェクティブ複体を一般化する。
• Hoveyの対応を用いて、$⋯$-純粋完全系列のなす完全圏$\mathbf{C}(\mathcal{C})_{⋯}$におけるインジェクティブなコトルションペアからモデル構造を確立する。
• スキーム$X$上の準連接層の平坦圏$\mathrm{Flat}(X)$の再構成可能性を用いて、$\mathbf{C}(\mathrm{Flat}(X))$にインジェクティブなモデル構造を構成する。
• このモデル構造のホモトピー圏が、導来圏$\mathcal{D}(\mathrm{Flat}(X))$と同値であり、かつ、純粋導来圏$\mathcal{D}_{\otimes\text{-pur}}(\mathfrak{Qcoh}(X))$と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アフィンスキーム上の準連接層に対して、局所的な幾何的構造を反映するように、純粋性を再定義することは可能か？
• RQ2 カテゴリカル純粋性ではなく幾何的純粋性を用いて、スキームの純粋導来圏を実現するモデル圏構造は何か？
• RQ3 局所的に有限生成された圏の純粋導来圏は、その平坦モジュールの導来圏と同値か？
• RQ4 閉じた対称モノイダルグロテンデック圏における非有界チェーン複体の圏に、発生成可能でインジェクティブなモデル構造を用いて$⋯$-純粋導来圏を構成できるか？
• RQ5 スキーム$X$上の平坦準連接層の導来圏は、$\mathbf{C}(\mathrm{Flat}(X))$上の適切なモデル構造のホモトピー圏と一致するか？

主な発見

• $⋯$-純粋導来圏$\mathcal{D}_{⋯\text{-pur}}(\mathcal{C})$は、自明対象が$⋯$-純粋分解型複体である発生成可能でインジェクティブなモデル構造のホモトピー圏として実現される。
• このモデル構造におけるファイブレーション対象は、$⋯$-純粋インジェクティブ成分を持つコホモロジー的同値な複体に限り、DGインジェクティブ複体を一般化する。
• 準代数的スキーム$X$に対して、$\mathfrak{Qcoh}(X)$の$⋯$-純粋導来圏は、平坦準連接層の導来圏$\mathcal{D}(\mathrm{Flat}(X))$と同値であり、幾何的に意味のある純粋導来圏を確立する。
• $\mathbf{C}(\mathrm{Flat}(X))$に導入されたインジェクティブなモデル構造のファイブレーション対象は、平坦成分を持つdgコトルション複体であり、自明対象は平坦サイクルを持つ分解型複体である。
• 圏$\mathcal{A}$が局所的に有限生成されているとき、$\mathbf{C}(\mathcal{C})$における$⋯$-純粋インジェクティブなモデル構造のホモトピー圏は、純粋導来圏$\mathcal{D}_{\mathrm{pur}}(\mathcal{A})$と同値である。
• それぞれのモデル構造におけるインジェクティブなコトルションペアと弱同値の対応により、$\mathcal{D}_{\mathrm{pur}}(\mathcal{A})$と$\mathcal{D}(\mathrm{Flat}(A))$の同値性が確立される。