[論文レビュー] The 2-group of linear auto-equivalences of an abelian category and its Lie 2-algebra

Xinwen Zhu|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、(AB5)を満たすk-線形アーベル圏Cに対して、線形自己同値の層GL(C)である2群の層を構成し、その接空間gl(C)が自然なリーホモトピー2代数構造を持つことを示している。この構成は、古典的線形代数的群およびリーリー代数を圏の設定に一般化するものであり、Cが基底スキームS上の分離的・準コンパactなスキームX上の準正則層の圏である場合、gl(C)がリーホモトピー2代数であるという主要な結果を有する。

ABSTRACT

For any abelian category \calC satsifying (AB5) over a separated, quasi-compact scheme S, we construct a stack of 2-groups \GL(\calC) over the flat site of S. We will give a concrete description of \GL(\calC) when \calC is the category of quasi-coherent sheaves on a separated, quasi-compact scheme X over S. We will show that the tangent space \gl(\calC) of \GL(\calC) at the origin has a structure as a Lie 2-algebra.

研究の動機と目的

• ベクトル空間Vに対するGL(V)およびgl(V)の古典的概念を、(AB5)を満たすアーベル圏へ一般化すること。
• 基底スキームSの平坦サイト上に、k-線形アーベル圏Cの自己同値を捉える2群の層GL(C)を定義すること。
• GL(C)の単位元における接空間gl(C)に自然なリーホモトピー2代数構造を与えること。
• 1/2が基底環で可逆であるという仮定の下で、2項L∞-代数とリーホモトピー2代数の間の対応を確立すること。

提案手法

• GL(C)をCのk-線形自己同値のカテゴリに、モノイダル構造を備えて2群とする形で定義する。
• Cの基底変換をk-代数に用いて、S上のアフィンスキームのfppfサイト上にGL(C)をスタックとして構成する。
• 代数準同型に関する引き戻しの整合性を検証することで、GL(C)がfppf位相におけるシーヴ条件を満たすことを示す。
• 接空間gl(C)をGL(C)(k[ε]/ε²) → GL(C)(k)の核として特定し、チェバリエ＝アイレンバーグ型の構成によりリーホモトピー2代数構造を導入する。
• チェルン類を用いて2項L∞-代数と厳密に可換なピカールスタックを関連づけ、1/2が可逆である場合にリーホモトピー2代数と同値であることを確立する。
• 括弧および三重線形写像を修正することで、gl(C)上のリーホモトピー2代数構造の明示的式を構成し、非対称成分を補正した上で歪対称性およびジャコビエーター条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (AB5)を満たすアーベル圏の自己同値群を、基底スキーム上での層的構造として変化させる2群構造を与える方法は何か？
• RQ2 ベクトル空間Vがアーベル圏Cに置き換わった場合、gl(V)の正しい一般化とは何か？そしてそれはどのようにリーホモトピー2代数として構造化されるか？
• RQ3 2群GL(C)の接空間にリーホモトピー2代数構造を導入できるか？もしそうなら、その構成法は何か？
• RQ4 2項L∞-代数とリーホモトピー2代数の間の関係は何か？また、どのような条件下でこの対応が同値となるか？

主な発見

• 任意のk-線形アーベル圏Cが(AB5)を満たすとき、GL(C)はSのアフィンスキームのfppfサイト上の2群の層である。
• C = Qcoh(X) が、S上の分離的・準コンパクトなスキームXに対して成り立つとき、GL(C)はXのピカールスタックとXのk-線形自己同値の層との半直積と同型である。
• GL(C)の単位元における接空間gl(C)は、自然にリーホモトピー2代数構造を持つ。
• 基底環で1/2が可逆であるとき、単射的L⁻¹を持つ2項L∞-代数の2カテゴリカルな同値とリーホモトピー2代数の間には同値が存在する。
• gl(C)上のリーホモトピー2代数構造の構成には、歪対称性およびジャコビエーター条件を非対称成分を補正した上で満たすように修正された括弧および三重線形写像が関与する。
• チェルン類の構成により、2項L∞-代数とリーホモトピー2代数の間の対応に準逆が存在し、2の可逆性の下で同値が確立される。