[論文レビュー] Putting probabilities first. How Hilbert space generates and constrains them

Michael Janas, Michael E. Cuffaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 138被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間における相関配列と幾何的表現を用いて、スピン1/2粒子のスイングレット状態から生じる量子相関——特にそれらが楕円体（elliptope）と呼ばれる数学的構造によって制約を受けること——を示している。この楕円体はボーンの法則と内積から導かれる。量子確率はヒルベルト空間の構造から生じるものであり、ベル型の非局所性は量子力学の欠陥ではなく、特徴であると主張する。局所的隠れ変数モデルは、楕円体内部に含まれる多面体を形成する抽選シミュレーションによって制約を受ける。

ABSTRACT

We use Bub's (2016) correlation arrays and Pitowksy's (1989b) correlation polytopes to analyze an experimental setup due to Mermin (1981) for measurements on the singlet state of a pair of spin-$\frac12$ particles. The class of correlations allowed by quantum mechanics in this setup is represented by an elliptope inscribed in a non-signaling cube. The class of correlations allowed by local hidden-variable theories is represented by a tetrahedron inscribed in this elliptope. We extend this analysis to pairs of particles of arbitrary spin. The class of correlations allowed by quantum mechanics is still represented by the elliptope; the subclass of those allowed by local hidden-variable theories by polyhedra with increasing numbers of vertices and facets that get closer and closer to the elliptope. We use these results to advocate for an interpretation of quantum mechanics like Bub's. Probabilities and expectation values are primary in this interpretation. They are determined by inner products of vectors in Hilbert space. Such vectors do not themselves represent what is real in the quantum world. They encode families of probability distributions over values of different sets of observables. As in classical theory, these values ultimately represent what is real in the quantum world. Hilbert space puts constraints on possible combinations of such values, just as Minkowski space-time puts constraints on possible spatio-temporal constellations of events. Illustrating how generic such constraints are, the equation for the elliptope derived in this paper is a general constraint on correlation coefficients that can be found in older literature on statistics and probability theory. Yule (1896) already stated the constraint. De Finetti (1937) already gave it a geometrical interpretation.

研究の動機と目的

• 相関配列に基づく幾何的枠組みを用いて、量子相関の運動論的制約を明確化すること。
• スピン1/2粒子のスイングレット状態における量子相関が、ボーンの法則と内積によって定義される凸集合としての楕円体に閉じ込められることを示すこと。
• これらの量子相関が、事前に印刷された結果を持つ抽選によってシミュレート可能かどうかを調査し、局所的隠れ変数モデルのクラスを明らかにすること。
• スピンの高い状態のスイングレット状態への一般化を行い、量子相関集合が楕円体のまま保たれ、スピンが増加するにつれて古典的シミュレーションがその楕円体に収束することを示すこと。
• 確率と期待値がヒルベルト空間構造から導かれる情報理論的解釈であるブルービズム（Bubism）を提唱すること。

提案手法

• スピン1/2粒子のスイングレット状態から導かれる相関配列を用いて、それらを非信号性立方体にマッピングすること。
• ヒルベルト空間内の内積を用いて、ボーンの法則とツィレルソンの上限に基づき、量子相関の集合を楕円体として幾何的に表現すること。
• 測定設定すべてに対して事前に印刷された結果を持つ「抽選」を用いて、局所的隠れ変数理論をモデル化し、古典的相関をシミュレートすること。
• 抽選でシミュレート可能な相関が、スピン1/2の場合には四面体を形成し、スピンが高くなるとより複雑な多面体を形成し、それらが楕円体に含まれることを示すこと。
• Wigner d行列を用いて、スピンの高い系へと形式を一般化し、非信号性および反相関構造を保持すること。
• 楕円体制約の歴史的ルーツを1897年のユール（Yule）と1937年のデ・フィネッティ（de Finetti）まで遡らせ、確率論におけるその基盤的役割を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間内の内積は、スピン1/2スイングレット状態における量子相関の集合をどのように生成・制約するのか？
• RQ2 スピン1/2の場合における、量子相関（楕円体）と、抽選でシミュレート可能な古典的相関（多面体）との幾何的関係は何か？
• RQ3 粒子のスピンが増加するにつれて、量子相関の古典的抽選シミュレーションの制約はどのように変化するか？
• RQ4 なぜ量子力学のベル型非局所相関は欠陥ではなく、その確率的構造の必然的特徴であるのか？
• RQ5 楕円体は、量子力学とは独立して相関係数に普遍的な制約を課えるものと見なせるか、その程度は何か？

主な発見

• スピン1/2スイングレット状態における量子相関の集合は、ツィレルソンの上限とボーンの法則によって定義される凸集合としての楕円体として幾何的に表現される。
• これらの相関の古典的抽選シミュレーションは、楕円体に含まれる四面体を生成し、すべての量子相関が局所的隠れ変数によって説明可能でないことを示している。
• スピンの高いスイングレット状態では、量子相関集合は依然として楕円体のままであり、抽選でシミュレート可能な相関は頂点と面が増加する多面体を形成し、スピンが増加するにつれて楕円体に収束する。
• 楕円体の方程式は、量子力学に先立ってすでにユール（1897年）とデ・フィネッティ（1937年）によって同定されており、相関係数に普遍的な制約を課す一般法則である。
• 本論文は、「小さな測定問題」と「大きな測定問題」が、ブルービズムの情報的解釈に整合的であり、量子力学の欠陥ではなく特徴であることを確立している。
• ヒルベルト空間は物理的状態を直接表すのではなく、観測可能量の確率分布の族を符号化しており、その空間の構造が時空幾何学に類似した運動論的制約を課している。