[論文レビュー] $q$-Bernoulli Numbers and Polynomials Associated with Multiple $q$-Zeta Functions and Basic $L$-series

T. Kim, Yılmaz Şimşek+1 more|ArXiv.org|Feb 1, 2005

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ひとこと要約

本稿は、$p$-進 $q$-ゼータ関数を $q$-ボルケンボルン積分および $\mathbb{Z}_p$ 上の一様微分可能性を用いて構成し、$q$-ベルヌーイ数と多項式を補間する。基本的 $L$-級数の解析接続を確立し、負の整数における明示的値を導出し、メリン変換および母関数を介してバーナス型 $q$-ゼータ関数とディリクレ $L$-関数とを関連付ける。

ABSTRACT

By using $q$-Volkenborn integration and uniform differentiable on $\mathbb{Z}%_{p}$, we construct $p$-adic $q$-zeta functions. These functions interpolate the $q$-Bernoulli numbers and polynomials. The value of $p$-adic $q$-zeta functions at negative integers are given explicitly. We also define new generating functions of $q$-Bernoulli numbers and polynomials. By using these functions, we prove analytic continuation of some basic (or $q$-) $L$% -series. These generating functions also interpolate Barnes' type Changhee $% q $-Bernoulli numbers with attached to Dirichlet character as well. By applying Mellin transformation, we obtain relations between Barnes' type $q$% -zeta function and new Barnes' type Changhee $q$-Bernolli numbers. Furthermore, we construct the Dirichlet type Changhee (or $q$-) $L$% -functions.

研究の動機と目的

• $q$-ボルケンボルン積分を用いて、$q$-ベルヌーイ数と多項式を補間する $p$-進 $q$-ゼータ関数を構築すること。
• $q$-ベルヌーイ数の新しい母関数を用いて、基本的（または $q$-）$L$-級数の解析接続を提供すること。
• メリン変換を用いて、バーナス型 $q$-ゼータ関数と一般化された $q$-ベルヌーイ数との関係を確立すること。
• チャンギェ $q$-ベルヌーイ数とディリクレ指標に関連するディリクレ型 $L$-関数を定義すること。
• $p$-進測度および $p$-進積分技法を用いて、古典的ゼータ関数および $L$-関数理論を $q$-類似に拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}_p$ 上の $q$-ボルケンボルン積分を用いて、$q$-ベルヌーイ数を補間する $p$-進 $q$-ゼータ関数を定義する。
• $\mathbb{Z}_p$ 上の一様微分可能性を適用して、構築された $p$-進 $q$-ゼータ関数の収束性および正則性を保証する。
• 基本的 $L$-級数の解析接続を可能にするため、$q$-ベルヌーイ数および多項式の新しい母関数を導入する。
• メリン変換を用いて、バーナス型 $q$-ゼータ関数とディリクレ指標を伴う一般化された $q$-ベルヌーイ数とを関連付ける。
• $p^N$-進展開上の和の極限を用いて、$p$-進測度（例：フロベニウス・バーナス型）を定義し、有界性および測度的性質を保証する。
• $q$-測度に対する指標の $p$-進積分を用いて $p$-進 $L$-関数の積分表現を導出し、$L$-級数の表現式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$-ベルヌーイ数と多項式を補間する $p$-進 $q$-ゼータ関数は、どのように構築可能か？
• RQ2 基本的 $q$-$L$-級数の解析接続とは何か？ そして、新しい母関数を用いてどのように達成できるか？
• RQ3 ディリクレ指標を伴うバーナス型 $q$-ゼータ関数と一般化された $q$-ベルヌーイ数との関係は何か？
• RQ4 メリン変換は、$p$-進 $q$-ゼータ関数を $L$-級数および負の整数における特別値にどのように関連付けるか？
• RQ5 $q$-アナログのフロベニウス・エイラーおよびバーナス型数のための $p$-進測度を定義可能か？ そして、それらは $L$-関数とどのように関係するか？

主な発見

• $p$-進 $q$-ゼータ関数は $q$-ベルヌーイ数を補間し、関係式 $\zeta_r(-n,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{u^r}{(u-1)^r} H_n^{(r)}(u,w\mid w_1,\dots,w_r)$ を用いて負の整数で明示的に評価可能である。
• 母関数 $F_{u,q}^{(r)}(t,x\mid w_1,\dots,w_r)$ は、多重 $q$-ゼータ関数の解析接続を可能にし、$H_n^{(r)}(u,x\mid w_1,\dots,w_r)$ と関連付ける。
• ディリクレ型 $L$-関数は、$q$-測度に対するディリクレ指標の $p$-進積分を用いて構築され、係数 $H_{n,\chi}^{(r)}(u\mid w_1,\dots,w_r)$ を持つ $L$-級数をもたらす。
• $p$-進測度 $E_{u,w_1}^{(k)}$ は $|1-u|_p \geq 1$ のとき正しく定義され、有界であるため、積分の収束性および $p$-進 $L$-関数表現の妥当性が保証される。
• 母関数のメリン変換により $\zeta_r(s,w,u\mid w_1,\dots,w_r) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1-r} \frac{1}{(1-u)^r} F_{u,q}^{(r)}(-t,w\mid w_1,\dots,w_r) dt$ が得られ、解析接続が可能になる。
• 関係式 $\int_{\mathbb{Z}_p} \chi(x) dE_{u,w_1}^{(k)}(x) = \frac{1}{1-u^f} H_{k,\chi}^{(1)}(u\mid w_1)$ は、$p$-進 $L$-関数と一般化された $q$-ベルヌーイ数（指標付き）との直接的な関連を確立する。