[論文レビュー] q-Bessel-Macdonald functions

V. -B. K. Rogov|ArXiv.org|Oct 17, 2000

Mathematical functions and polynomials参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$q$-超幾何級数および$q$-積分表現を用いて定義される、古典的修正ベッセル関数およびマクドナルド関数の$q$-類似物として、第一種、第二種、第三種の$q$-ベッセル＝マクドナルド関数を導入する。再帰関係、$q$-ワロンスキー式、漸近展開、$q$-積分表現を確立し、主な結果として第三種の$q$-マクドナルド関数の$q$-積分的定義と、第三種の$q$-修正ベッセル関数との関係を示す。

ABSTRACT

The modified q-Bessel functions and the q-Bessel-Macdonald functions of the first and second kind are introduced. Their definition is based on representations as power series. Recurrence relations, the q-Wronskians, asymptotic decompositions and q-integral representations are received. In addition, the q-Bessel-Macdonald function of kind 3 is determined by its q-integral representation.

研究の動機と目的

• 古典的マクドナルド関数の$q$-類似物として、第一種、第二種、第三種の$q$-ベッセル＝マクドナルド関数を定義すること。
• これらの$q$-関数に対して再帰関係、$q$-ワロンスキー式、漸近展開を導出すること。
• 特に第三種に対して、$q$-マクドナルド関数の$q$-積分表現を確立すること。
• $q \to 1^{-}$の極限において、$q$-マクドナルド関数が古典的マクドナルド関数に還元されることを示すこと。

提案手法

• $j=1,2,3$ に対して、$q$-超幾何級数を用いて $q$-修正ベッセル関数 $I_{\nu}^{(j)}((1-q^2)z; q^2)$ を定義する。
• $q$-微分作用素 $\partial_q$ と $q$-シフト階乗を用いて再帰関係を導出する。
• 二階 $q$-差分方程式の基本解系を分析するため、$q$-ワロンスキー式を導入する。
• 第三種の$q$-ベッセル関数を含む$q$-積分表現を用いて、第三種の$q$-マクドナルド関数を構成する。
• 級数の和と $q$-積の恒等式を用いて、漸近的挙動と正規化定数を確立する。
• $q \to 1^{-}$ の極限をとることで、古典的極限との整合性を検証し、既知の積分表現を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種、第二種、第三種の$q$-ベッセル＝マクドナルド関数を、古典的マクドナルド関数の$q$-類似物として一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 各々の種類の$q$-修正ベッセル関数に対して、どのような再帰関係と$q$-ワロンスキー式が成り立つか？
• RQ3 第三種の$q$-マクドナルド関数はどのように$q$-積分で表現できるか？また、第三種の$q$-修正ベッセル関数とはどのような関係にあるか？
• RQ4 $q \to 1^{-}$ の極限において、$q$-マクドナルド関数の挙動はいかなるものか？また、古典的マクドナルド関数に回復されるか？

主な発見

• 第三種の$q$-マクドナルド関数は、$q$-積分表現 $K_{\nu}^{(3)}((1-q^2)z; q^2) = \frac{1}{2}q^{-\nu^2 + \nu} \Gamma_{q^2}(\nu)\Gamma_{q^2}(1-\nu)\left[I_{-\nu}^{(3)}((1-q^2)z; q^2) - I_{\nu}^{(3)}((1-q^2)z; q^2)\right]$ で定義される。
• $I_{\nu}^{(3)}$ と $K_{\nu}^{(3)}$ の$q$-ワロンスキー式は $W(I_{\nu}^{(3)}, K_{\nu}^{(3)}) = \frac{1}{2}q^{-\nu^2}(1-q^2)$ であり、これが基本解系を形成することを確認する。
• $q$-修正ベッセル関数 $I_{\nu}^{(j)}((1-q^2)z; q^2)$ は、種類$j$ に対応するパrameter $\delta$ を持つ二階 $q$-差分方程式を満たす。
• $q \to 1^{-}$ の極限において、$K_{\nu}^{(3)}((1-q^2)z; q^2) \to K_{\nu}(z)$ となり、古典的マクドナルド関数およびその積分表現が回復される。
• $q$-積分表現における正規化定数 $C(\nu)$ が定数（1に設定）であることが示され、極限における一貫性が保証される。
• $z = 2q^n$ の格子上における $I_{\nu}^{(3)}$ の漸近的挙動が分析され、$n \to -\infty$ のとき $I_{\nu}^{(3)}(2q^n; q^2)/I_{-\nu}^{(3)}(2q^n; q^2) \to 1$ となることが示され、$q$-マクドナルド関数の対称的形が裏付けられる。