[論文レビュー] Q-modules are Q-suplattices

Isar Stubbe|ArXiv.org|Sep 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意の小さな量的圏 𝒬 に対して、KZ準同型構成を用いて、𝒬-加群の圏が、cocomplete な 𝒬-豊広圏（すなわち 𝒬-上ラティス）の圏に同値であることを確立する。豊広圏論と KZ 準同型に関する補題を用いて、𝒬-加群が 𝒬-順序の内部 cocompletion であることを証明し、古典的な結果（𝛺-加群が局所 𝛺 の層の圏における内部上ラティスであること）を非可換かつ多型的設定に一般化する。

ABSTRACT

It is well known that the internal suplattices in the topos of sheaves on a locale are precisely the modules on that locale. Using enriched category theory and a lemma on KZ doctrines we prove (the generalization of) this fact in the case of ordered sheaves on a small quantaloid. Comparing module-equivalence with sheaf-equivalence for quantaloids and using the notion of centre of a quantaloid, we refine a result of F. Borceux and E. Vitale.

研究の動機と目的

• 小さな量的圏 𝒬 の文脈に一般化して、古典的な結果（𝛺-加群が局所 𝛺 の層の圏における内部上ラティスであること）を非可換かつ多型的設定に拡張すること。
• 豊広圏論を用いて、𝒬-加群と 𝒬-上ラティスの圏の間のカテゴリカル同値を確立すること。
• Borceux と Vitale が示した量的圏、その加群圏、および中心の関係に関する結果を精緻化すること。
• 𝒬-順序上の自由 cocompletion 2-モノイドの KZ-準同型に基づく、𝒬-加群を Eilenberg-Moore 代数として特徴づけるモノイド的記述を提供すること。

提案手法

• 小さな量的圏 𝒬 における豊広圏論を用い、𝒬-順序を 𝒬 の分裂イデムポテン成分に豊広化されたコーシー完備圏として扱う。
• 各 𝒬-順序に対してその自由 cocompletion（下閉部分対象の上ラティス）を割り当てる KZ 準同型を適用する。この割り当ては、冪関手 ℘ を通して行われる。
• KZ 準同型に関する重要な補題を用いて、𝒮𝒯𝒯(𝒬) 上の得られる 2-モノイドが、𝒬-加群をその Eilenberg-Moore 代数として与えることを示す。
• この KZ 準同型を用いて、𝒬-加群の圏が 𝒬-順序の圏へモナディックであることを確立する。
• 局所 𝛺 に対して 𝒪𝓇𝒹(𝛺) と 𝒪𝓇𝒹(𝒮𝒽(𝛺)) の同値性を用いて、古典的な局所ケースを特別な場合として回復する。
• 中心構成を用いて加群圏と層圏を比較し、量的圏 𝒬 の中心がその可換構造を捉えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な結果（𝛺-加群が局所 𝛺 の層の圏における内部上ラティスであること）を非可換かつ多型的設定に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 𝒬-加群と cocomplete な 𝒬-豊広圏（すなわち 𝒬-上ラティス）との間の正確なカテゴリカル関係は何か？
• RQ3 𝒪𝓇𝒹(𝒬) 上の自由 cocompletion 2-モノイドは KZ 準同型として特徴づけられるか？ そして、その代数は 𝒬-加群をもたらすか？
• RQ4 𝒬-順序の圏 𝒪𝓇𝒹(𝒬)、上ラティスの圏 𝒮𝒫(𝒬)、および再び 𝒪𝓇𝒹(𝒬) の間の関係は、𝒬 の中心とどのように関係し、いつ同値となるか？

主な発見

• 𝒬-加群は正確に 𝒬-上ラティスである：任意の 𝒬-加群は cocomplete な 𝒬-豊広圏であり、逆に任意の cocomplete な 𝒬-圏は 𝒬-加群として現れる。
• KZ 準同型により、𝒬-加群の圏は、各 𝒬-順序 𝒜 に対してその自由 cocompletion ℘𝒜 を割り当てるものによって、𝒬-順序の圏へモナディックである。
• 局所 𝛺 に対して、この結果は古典的な事実（𝛺-加群が 𝛺 上の層のトポスにおける内部 cocompletion であること）を回復する。
• 量的圏 𝒬 の中心は、その加群圏 𝒮𝒫(𝒬) の中心と同型であり、この同型は中心間の量的圏準同型によって実現される。
• 可換な量的圏 𝒬 と 𝒬′ に対して、𝒫(𝒬) と 𝒪𝓇𝒹(𝒬′) が同値であることは、𝒬 ≅ 𝒬′ であることと同値であり、Borceux と Vitale の結果を精緻化する。
• 局所 𝛺 と 𝛺′ に対して、𝛺 ≅ 𝛺′ ⟺ 𝒮𝒫(𝛺) ≅ 𝒮𝒫(𝛺′) ⟺ 𝒪𝓇𝒹(𝛺) ≅ 𝒪𝓇𝒹(𝛺′) ⟺ 𝒮𝒫(𝛺) ≅ 𝒮𝒫(𝛺′) が成り立ち、完全なカテゴリカル不変性を示す。