[論文レビュー] Quadratic algebras related to elliptic curves

Yu. B. Chernyakov, A. Levin+2 more|ArXiv.org|Oct 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、n個のマークされた点を持つ楕円曲線上のランクN、次数1のベクトル束に関連する、有限次元の二次的ポアソン代数およびその量子版を、GL(N,C)二ループ群の余接 bundle 上の標準的ブラケットからのポアソン還元を用いて構成する。主な結果は、これらの代数がn個のsl(N,C)の直和上の標準的リーポアソン構造と両立することであり、N=2、n=1の場合はスクラヤニン代数の一般化である。

ABSTRACT

We construct quadratic finite-dimensional Poisson algebras and their quantum versions related to rank N and degree one vector bundles over elliptic curves with n marked points. The algebras are parameterized by the moduli of curves. For N=2 and n=1 they coincide with the Sklyanin algebras. We prove that the Poisson structure is compatible with the Lie-Poisson structure on the direct sum of n copies of sl(N). The derivation is based on the Poisson reduction from the canonical brackets on the affine space over the cotangent bundle to the groups of automorphisms of vector bundles.

研究の動機と目的

• 楕円曲線上のベクトル束に関連する有限次元の二次的ポアソン代数およびその量子版を構成すること。
• ベラビン＝ドラジンのr行列を介して、これらの代数と古典的および量子スクラヤニン＝フェイジン＝オデスキー代数との関係を確立すること。
• 新規のポアソン構造と⊕ⁿ sl(N,C) 上の標準的リーポアソン構造との両立性を示すこと。
• モジュライ空間上の準周期関数を用いて、ポアソンブラケットおよび量子関係式の明示的表現を提供すること。
• これらの代数を対称性構造として用いて、シュレスラーおよびガルニエ系の楕円的一般化を構築すること。

提案手法

• GL(N,C)二ループ群の余接 bundle 上の標準的ポアソンブラケットから、古典的頂点r行列およびGL(N,C)値Lax行列を導出する。
• 指定されたモノドロミー条件を満たす楕円曲線上の次数1ベクトル束の断面に沿ったゲージ変換を用いてポアソン還元を適用する。
• 準周期関数（テータ関数、E₁、E₂、φ関数）を用いてポアソンブラケットおよび量子関係式をパラメータ化する。
• n個のGL(N,C)の直積上の二次的代数としてポアソン代数を構成し、成分間の非自明な混合を含む。
• 明示的なブラケット計算を通じて、新規のポアソン構造が⊕ⁿ Lie(GL(N,C)) 上の標準的リーポアソン構造と両立することを証明する。
• 頂点楕円R行列を用いて量子版を定義し、古典的ブラケットの変形により量子交換関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線にマークされた点と次数1のベクトル束を用いて、有限次元の二次的ポアソン代数をどのように構成できるか。
• RQ2 ベラビン＝ドラジンの楕円的r行列が、これらの代数上のポアソン構造を定義する役割を果たすか。
• RQ3 還元空間上のポアソン構造が、n個のsl(N,C)の直和上の標準的リーポアソン構造とどのように関係するか。
• RQ4 モジュライ空間上の準周期関数を用いた場合、ポアソンブラケットおよび量子関係式の明示的形は何か。
• RQ5 これらの代数が、N=2およびn=1のスクラヤニン代数をどのように一般化するか。

主な発見

• 構築されたポアソン代数は有限次元的かつ二次的であり、GL(N,C)二ループ群の余接 bundle 上の標準的ブラケットからのポアソン還元によって得られる。
• N=2およびn=1の場合、代数は正確に元のスクラヤニン代数に還元され、既知の結果と整合性が確認された。
• シュアウトエン＝ニーレンブルグブラケットの明示的計算により、ポアソン構造が⊕ⁿ sl(N,C) 上の標準的リーポアソン構造と両立することが確認された。
• 生成子間のポアソンブラケットは、モジュライ空間上の準周期関数φγ(z)、φγ,η(z)およびE₁、E₂関数を用いて表現される。
• 量子版の代数は頂点楕円R行列を用いて定義され、量子交換関係には同じ準周期関数が含まれる。
• これらの代数は、シュレスラーおよびガルニエ系の楕円的一般化の対称性を定義し、それらの古典的可積分性を拡張する。