[論文レビュー] Quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion: discrete solutions and approximation

Ying Hu, Yiqing Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$G$-ブラウン運動によって駆動される二次型後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を、完全非線形PDEを用いた離散近似とバナッハ空間収束を用いて確立する。主な貢献は、$G$-期待値設定における二次的成長生成子の厳密なフレームワークを構築することであり、古典的BSDE理論をケインティアン不確実性モデルに拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motion (GBSDEs) under quadratic assumptions on coefficients. We prove the existence and uniqueness of solution for such equations. On the one hand, a priori estimates are obtained by applying the Girsanov type theorem in the $G$-framework, from which we deduce the uniqueness. On the other hand, to prove the existence of solutions, we first construct solutions for discrete GBSDEs by solving corresponding fully nonlinear PDEs, and then approximate solutions for general quadratic GBSDEs in Banach spaces.

研究の動機と目的

• 後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を、生成子の$Z$に関する二次的成長条件の下で、$G$-ブラウン運動によって駆動する場合に確立すること。
• 金融的および確率的モデルにおけるケインティアン不確実性をモデル化する非線形$G$-期待値枠組みに、古典的BSDE理論を拡張すること。
• 完全非線形PDEを解くことによって、$G$-BSDEの離散近似スキームを構築し、バナッハ空間における収束を示すこと。
• a priori推定式の欠如および二次的$G$-BSDE設定における一意性の欠如を、ギルサノフ型の議論とコンパクト性法を用いて克服すること。
• 以前のリプシッツ的または有界な生成子に関する結果を、制御変数$Z$におけるより複雑な二次的成長のケースに一般化すること。

提案手法

• $G$-フレームワーク内でのギルサノフ型定理を用いてa priori推定式を導出し、二次的成長下での解の一意性を確立する。
• 有限時間グリッド上で関連する完全非線形放物型PDEを解くことによって、$G$-BSDEの離散解を構築する。
• バナッハ空間枠組みを用いて、一般の二次的$G$-BSDEを離散$G$-BSDEの列で近似する。
• $G$-マルティンゲール表現定理を用いて、解を対称$G$-伊藤積分部と単調減少$G$-マルティンゲール部に分解する。
• 連続性のモジュラスおよび凹関数上界（$w^h$）を用いて、離散近似の上確率ノルムおよび$L^p$ノルムにおける収束を制御する。
• $G$-期待値の性質とルベーグの優越収束定理を活用し、近似列が$\mathcal{S}^p_G$および$\mathcal{H}^{p'}_G$において収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子が$Z$に関して二次的成長を示す二次的$G$-BSDEについて、解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 完全非線形PDEを用いて、$G$-BSDEの離散解をどのように構築できるか？
• RQ3 離散近似が$G$-フレームワーク下で真の解に収束するための条件は何か？
• RQ4 $G$-マルティンゲール表現定理は、二次的ケースにおける解構造を特徴付けるために利用できるか？
• RQ5 $G$-期待値枠組みは、モデル不確実性下での解の存在を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、空間$\mathfrak{G}^2_G(0,T)$における二次的$G$-BSDEの解$({Y}, {Z}, {K})$の存在および一意性を証明する。
• $G$-フレームワーク内でのギルサノフ型変換を用いてa priori推定式が導出され、二次的成長下での一意性が保証される。
• 時間分割上で$G$-BSDEに対応する完全非線形PDEを解くことによって、各ステップで適切に定義された離散解が構築される。
• 離散解の列は、任意に大きな$p$、$p'$、$p''$について、$\mathcal{S}^p_G(0,T) \times \mathcal{H}^{p'}_G(0,T) \times \mathcal{S}^{p''}_G(0,T)$において収束し、強い意味での収束を示す。
• 極限過程$K$は、$G$-マルティンゲール表現定理と整合的である単調減少$G$-マルティンゲールであることが示される。
• 連続性のモジュラスの推定式および凹関数上界$w^h$の使用により、近似列の収束が確立され、$\bar{Y}^n$、$\bar{Z}^n$、および$\bar{K}^n$の$L^p$収束が保証される。