[論文レビュー] Quadratic Binomial APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials

Eimear Byrne, Gary McGuire|ArXiv.org|Oct 24, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特徴が2の有限体上での二次二項関数のほぼ完全非線形（APN）性を、代数幾何学的技法とワイエルの不等式を用いて検討し、多くの関数が無限に多くの拡張体上でAPNでないことを示している。主な貢献は、関連多項式の絶対的既約性に基づく基準であり、特定の数論的条件および既約性条件が満たされた場合、特定の二次二項関数の族が無限に多くの基本体の拡張上でAPNでないことを証明している。

ABSTRACT

We show that many quadratic binomial functions on a finite field of characteristic 2 are not APN infinitely often. This is of interest in the light of recent discoveries of new families of quadratic binomial APN functions. The proof uses the Weil bound from algebraic geometry.

研究の動機と目的

• 関数 $ cx^{2^i+2^j} + dx^{2^u+2^v} $ の形をした二次二項関数が、$ GF(2^m) $ の無限に多くの拡張体上でAPNでない条件を特定すること。
• 古典的なゴールド型 $ 2^j + 1 $ を超えて、より一般的な二次指数 $ 2^j + 2^k $ を分析することで、APN関数に関する先行研究を拡張すること。
• 特にワイエルの不等式および絶対的既約多項式の性質を含む代数幾何学的ツールを用いて、非APN性を確立すること。
• 関連する斉次多項式の既約性に基づいて、理論的枠組みを提供し、無限に多くの二次二項関数の族がAPNでないことを除外すること。

提案手法

• 著者らは、関数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ から導かれる斉次多項式 $ H(x,y) $ を定義し、関数の微分的構造を捉える。
• 関数の微分均一性に関連する方程式の解の個数を推定するために、キャラクター和に対するワイエルの不等式を用いる。
• 証明は、$ H(x,y) $ の特異点、特に $ [1:0:0] $ や $ [1:a:0] $ のような特異点の重複度の分析に依存し、有限体拡張上での可能な因数分解を制約する。
• ガロア理論的議論と中国剰余定理を用いて、$ GF(q^n) $ 上での $ H(x,y) $ の因数分解を研究し、非自明な因数分解が成立するならば、$ n $ が指数に関連する特定の整数を割り切ることを示す。
• もし $ H(x,y) $ が $ K = GF(2^m) $ 上で絶対的既約である上に、$ (t, 2^s - 1) = 1 $ または $ (t-i, s) = 1 $ が成り立つならば、$ f $ は無限に多くの回でAPNでないことを示す。
• この手法は、二変数多項式の既約性のテストへの還元に依存し、特に因子分解における重複度制約に関する補題5を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ が、$ GF(2^m) $ の無限に多くの拡張体上でAPNでない条件は何か？
• RQ2 関連多項式 $ H(x,y) $ の絶対的既約性は、$ f $ のAPN性とどのように関係するか？
• RQ3 数論的条件 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ や $ (t-i, s) = 1 $ を用いて、無限に多くのAPN関数の族を除外できるか？
• RQ4 重複度 $ 2^s - 1 $ および $ 2^s $ を持つ特異点が、有限体拡張上での $ H(x,y) $ の因数分解挙動をどのように決定するか？

主な発見

• 関数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ は、$ i $ が $ t $ を割り切らない限り、$ GF(2^m) $ の無限に多くの拡張体上でAPNでない。
• もし $ H(x,y) $ が $ K = GF(2^m) $ 上で既約であり、$ (t, 2^s - 1) = 1 $ が成り立つならば、$ f $ は無限に多くの回でAPNでない。
• もし $ H(x,y) $ が既約であり、$ (t-i, s) = 1 $ が成り立つならば、$ f $ は無限に多くの回でAPNでない。
• $ GF(2^{10}) $ 上の散発的APN二項関数 $ x^3 + u x^{36} $ は、$ H_u(x,y) $ が絶対的既約であることを示すことで、高々有限個の拡張体でのみAPNであることが判明した。
• $ r=3,4 $ の場合の族 $ x^{2^i+1} + u x^{2^{k+i} + 2^{(r-1)k}} $ に対して、$ i > 1 $ のとき、$ i $ が $ t = (r-1)k - i $ を割り切らないため、関数は無限に多くの回でAPNでない。
• 証明は、$ H(x,y) $ が $ GF(2^{30}) $ 上で3つの11次因数に分解されるならば、$ K[x] $ に53次既約因数が存在するという事実と矛盾することを示し、そのような因数分解が不可能であることを排除した。