[論文レビュー] Quadratic BSDEs driven by a continuous martingale and application to utility maximization problem

Marie-Amélie Morlais|ArXiv.org|Oct 25, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、連続マルティンゲールによって駆動される2次型後向き確率微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立し、ポートフォリオ制約下での効用最大化問題を解くための動的計画法を可能にする。主な貢献は、指数型、累乗型、対数型の効用関数に対して、これらの2次型BSDEの解を用いて価値関数および最適戦略を明示的に特徴づけることである。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of quadratic Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) which arises naturally when studying the problem of utility maximization with portfolio constraints. We first establish existence and uniqueness results for such BSDEs and then, we give an application to the utility maximization problem. Three cases of utility functions will be discussed: the exponential, power and logarithmic ones.

研究の動機と目的

• 市場に非ヘッジ可能な負債が存在するため非完全市場である連続フィルトレーション設定において、ポートフォリオ制約を伴う効用最大化問題を解くこと。
• 凸双対性手法の制限を克服するため、非ブラウン運動的で連続マルティンゲールに基づく2次型BSDEに動的計画法を拡張すること。
• 指数型、累乗型、対数型の3つの標準的効用関数に対する価値関数および最適投資戦略を特徴づけること。
• 関連する2次型BSDEを解くことにより、制約付き非完全市場における効用インジフェアレンス価格の厳密な基礎を提供すること。
• [15]の先行研究を一般化し、非凸型ポートフォリオ制約を組み込み、双対性手法を回避することで、価値関数および最適戦略の直接的な動的特徴づけを実現すること。

提案手法

• 論文は、d次元の連続局所マルティンゲールMを用いて金融市場をモデル化し、Mおよび強く直交するマルティンゲールLに関する確率積分を用いて資産の過程を分解する。
• 生成子 $ f $ が制御変数 $ \rho $ に関して2次成長を示す形式の2次型BSDE $ Y_t = 0 - \int_t^T f(s, Z_s, \rho_s) dC_s - \int_t^T Z_s dM_s - \int_t^T dL_s $ を導入する。
• ボラティリティ行列 $ m_s m_s' $ が正則であり、$ \lambda $ に対して有界性条件が成り立つという仮定の下で、2次型BSDEの解の存在および一意性が証明される。これにより構造条件が成立することが保証される。
• 動的計画法の原理を適用し、価値関数のためのBSDEを導出する。生成子 $ f $ は、効用最大化問題に関連するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式から導かれる。
• 指数型、累乗型、対数型の各効用関数に対して、生成子 $ f $ を明示的に構成し、最適戦略 $ \rho^* $ が $ m_s(\rho - \lambda_s) $ を含む2次形式の最小化子として特徴づけられる。
• 価値関数は $ V_t^B(x) = \mathbb{E}^{\mathcal{F}_t}[U(X_T^{\rho^*,t,x} - B)] $ と表現され、関連する過程 $ R^\rho $ が上マルティンゲールであり、$ \rho^* $ に対して等号が成り立つことにより最適性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的でブラウン運動でないフィルトレーション設定において、動的計画法を用いてポートフォリオ制約を伴う効用最大化問題をどのように解くことができるか？
• RQ2 この文脈において、連続マルティンゲールによって駆動される2次型BSDEの解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 指数型、累乗型、対数型の効用関数に対する価値関数は、2次型BSDEの解にどのように依存するか？
• RQ4 非凸型ポートフォリオ制約下の非完全市場において、最適投資戦略の明示的形は何か？
• RQ5 提案された動的法は、制約付き効用最大化を解く際の双対性に基づくアプローチと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 指数型効用に対して、価値関数は $ V_t^1(x) = \frac{x^\gamma}{\gamma} \exp(Y_t) $ と与えられ、$ Y $ は $ \rho $-依存の2次項を含む生成子を持つ2次型BSDEの解である。
• 累乗型効用に対して、最適戦略 $ \rho_1^* $ は $ |m_s(\rho_1^* - \lambda_s)| \leq |m_s \lambda_s| $ を満たし、価値関数は $ V_t^1(x) = \frac{x^\gamma}{\gamma} \exp(Y_t) $ と表され、$ Y $ は (Eq2) 型のBSDEの解である。
• 対数型効用に対して、価値関数は $ V_t^2(x) = \ln(x) + Y_t $ であり、$ Y $ は生成子 $ f^2(s) = \inf_{\rho \in \mathcal{C}} \frac{1}{2}|m_s(\rho - \lambda_s)|^2 - \frac{1}{2}|m_s \lambda_s|^2 $ を持つ2次型BSDEの唯一の解である。
• 対数型効用の最適戦略 $ \rho_2^* $ は $ |m_s(\rho - \lambda_s)|^2 $ の最小化子であり、過程 $ \ln(X^{\rho^*}) + Y $ がマルティンゲールであることが確認され、最適性が裏付けられる。
• 論文は、$ m_s m_s' $ が正則であり、$ \lambda $ が $ \int_0^T |m_s \lambda_s|^2 dC_s \leq a_\lambda $ という有界性条件を満たすという仮定の下で、2次型BSDEの解の存在および一意性を証明する。これにより構造条件が成立することが保証される。
• 先行研究[15]を一般化し、非凸型ポートフォリオ制約を組み込み、双対性手法を回避することで、価値関数および最適戦略の直接的な動的特徴づけを実現する。