[論文レビュー] Quadric rank loci on moduli of curves and K3 surfaces

Gavril Farkas, Richárd Rimányi|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ベクトルバンドルの対称双線形準同型の核に、所定のランクの二次曲面が含まれる退化局所有のコhomology類に対する普遍的公式を、局所化されたアティyah-Bott公式を用いて開発する。主な貢献は、そのような局所有のクラスをチャーン類の形で閉じた式で与えることであり、これは曲線およびK3表面のモジュライ空間上の有効な除集合の明示的構成を可能にする。特に、ハーツィング空間上の canonical 除集合や $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上のペトリー除集合が含まれる。この手法により、特にノエター・レフシェーツ除集合および $K3$ モジュライ空間上のホッジ類に関する新規な証明と公式が得られる。

ABSTRACT

Given two vector bundles E and F on a variety X and a morphism from Sym^2(E) to F, we compute the cohomology class of the locus in X where the kernel of this morphism contains a quadric of prescribed rank. Our formulas have many applications to moduli theory: (i) we find a simple proof of Borcherds' result that the Hodge class on the moduli space of polarized K3 surfaces of fixed genus is of Noether-Lefschetz type, (ii) we construct an explicit canonical divisor on the Hurwitz space parametrizing degree k covers of the projective line from curves of genus 2k-1, (iii) we provide a closed formula for the Petri divisor on the moduli space of curves consisting of canonical curves which lie on a rank 3 quadric and (iv) construct myriads of effective divisors of small slope on M_g.

研究の動機と目的

• ベクトルバンドルの対称双線形準同型の核に、所定のランクの二次曲面が含まれるような多様体内の局所有のコhomology類を計算すること。
• この公式を、特に曲線および $K3$ 表面のモジュライ空間上の除集合に関する古典的問題に応用すること。
• ハーツィング空間上の canonical 除集合および $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上のペトリー除集合の明示的・閉じた表現式を提供すること。
• 偏極 $K3$ 表面のモジュライ空間上のホッジ類がノエター・レフシェーツ型であるというボルツァークスの結果に対する、新規で直接的な証明を提供すること。
• canonical 埋め込みにおいてランク4の二次曲面上にある曲線からなる除集合の存在を確立し、そのクラスを計算すること。

提案手法

• 著者らは、局所化されたアティヤ・ボット型の公式を用いて、$\phi: \mathrm{Sym}^2(\mathcal{E}) \to \mathcal{F}$ の核に、コランクが少なくとも $r$ である二次曲面が含まれる退化局所有のコhomology類を、$\mathcal{E}$ および $\mathcal{F}$ のチャーン類の形で計算する。
• 局所有が期待される除集合である場合、簡略化された公式を導出する：$[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$、ここで $f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$ である。
• この公式を $K3$ 表面のモジュライ空間に応用する際、普遍族上での対称準同型の核を通じてホッジ類をノエター・レフシェーツ除集合として実現する。
• genus $2k-1$ の曲線から $\mathbb{P}^1$ への $k$ 次被覆をパラメトライズするハーツィング空間に関して、canonical バンドルがランク3の二次曲面上にある局所有を用いて、明示的な canonical 除集合を構成する。
• $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ を、canonical 埋め込みにおいてランク4の二次曲面上にある曲線の除集合として定義し、定理1.1の公式を用いてそのクラスを計算する。
• この除集合クラスが有効的であることを検証し、コンactified ハーツィング空間 $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 上での $\lambda$, $\gamma$, および境界除集合 $[D_0]$ を用いた表現を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルバンドルの対称準同型の核に、所定のランクの二次曲面が含まれる局所有のコhomology類は、チャーン類の形で明示的に計算可能か？
• RQ2 偏極 $K3$ 表面のモジュライ空間上の genus $g$ のホッジ類は、ノエター・レフシェーツ除集合に支持されるか？また、退化局所有の公式を用いてその証明は可能か？
• RQ3 genus $2k-1$ の曲線から $\mathbb{P}^1$ への $k$ 次被覆をパラメトライズするハーツィング空間上に、明示的な canonical 除集合を構成可能か？
• RQ4 genus $2k-1$ の曲線のモジュライ空間上での、canonical 埋め込みにおいてランク4の二次曲面上にある曲線からなる除集合のクラスは何か？
• RQ5 有界ランクの二次曲面上にある曲線の局所有は、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上で小スロープの有効除集合をもたらすか？

主な発見

• 本稿では、$\mathrm{Ker}(\phi)$ にコランクが少なくとも $r$ である二次曲面が含まれる局所有のコhomologyクラスに対する普遍的公式を提供する。その式は $[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$ であり、$f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$ である。
• この公式を通じて、genus $g$ の偏極 $K3$ 表面のモジュライ空間上のホッジ類 $\lambda$ がノエター・レフシェーツ型であることが示され、ボルツァークスの結果に対する新規で直接的な証明が得られる。
• genus $2k-1$ の曲線から $\mathbb{P}^1$ への $k$ 次被覆をパラメトライズするハーツィング空間 $\mathcal{H}_k$ 上に、canonical バンドルがランク3の二次曲面上にある局所有を用いて、明示的な canonical 除集合が構成される。
• $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上のペトリー除集合（canonical 曲線がランク3の二次曲面上にあるもの）に対して、退化局所有の手法を用いて閉じた式が与えられる。
• canonical 埋め込みにおいてランク4の二次曲面上にある genus $2k-1$ の曲線の除集合 $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ のクラスは、$\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 上で $[\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}] = A_k^{k-4} \left( \frac{5k+12}{k}\lambda + \frac{k-6}{k}\gamma - [D_0] \right)$ と表され、$A_k^{k-4}$ は既知の組み合わせ係数である。
• この手法により、$\overline{\mathcal{M}}_g$ 上に多数の小スロープの有効除集合が得られ、特に $k \geq 12$ の場合、$7\lambda - \delta_0$ は大きい（big）であり、ブリル・ノイザー局所有の像を含まない有効除集合を含む。