[論文レビュー] Qualitative Analysis and Numerical Simulation of Equations of the Standard Cosmological Model

Yurii Ignat’ev|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2016

Material Science and Thermodynamics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間的に平坦な Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker 宇宙における Einstein-Klein-Gordon 系に、定性的微分方程式および数値シミュレーションを適用し、宇宙論的モデルがインフレーション（$¯{\Omega} = +1$）、非相対論的物質優位（$¯{\Omega} = -1/2$）、および超相対論的状態への漸近的接近（$¯{\Omega} \to -1$）の3つの明確に異なる段階を経ることを示している。この系は無限遠に安定な中心を示し、微小な振動を伴う平坦で漸近的に静的な宇宙を形成する。

ABSTRACT

On the basis of qualitative theory of differential equations it is shown that dynamic system based on the system of Einstein - Klein - Gordon equations with regard to Friedman Universe has a stable center corresponding to zero values of scalar potential and its derivative at infinity. Thus, the cosmological model based on single massive classical scalar field in infinite future would give a flat Universe. The carried out numerical simulation of the dynamic system corresponding to the system of Einstein - Klein - Gordon equations showed that at great times of the evolution the invariant cosmological acceleration has a microscopic oscillating character ($T\sim 2πmt$), while macroscopic value of the cosmological acceleration varies from $+1$ at inflation stage after which if decreases fast to $-1/2$ (non-relativistic stage), and then slowly tends to $-1$ (ultrarelativistic stage).

研究の動機と目的

• 定性的微分方程式理論を用いて、標準宇宙論モデルの長期的力学的挙動を分析すること。
• 平坦な Friedmann 宇宙における Einstein-Klein-Gordon 方程式に従う宇宙論的系の安定性および漸近的性質を調査すること。
• スケール因子、ハッブルパラメータ、宇宙論的加速度の宇宙時間にわたる進化を数値的にシミュレートすること。
• 単一の巨大スカラー場の影響下で、宇宙が無限の未来に平坦な幾何構造に近づくかどうかを特定すること。
• 宇宙論的加速度の微小な振動と巨視的進化の間の顕在的な矛盾を解消するため、平均化された加速度測度を導入すること。

提案手法

• プランク単位（$\hbar = c = G = 1$）および計量符号 $(-1,-1,-1,+1)$ を用いて、共形時間における Einstein-Klein-Gordon 系の定式化。
• スカラー場 $\Phi$ とハッブルパラメータ $h = a'/a$ のための2階非線形常微分方程式系への動的系の変換。
• 微分方程式の定性的理論を適用し、$\Phi = 0$, $\dot{\Phi} = 0$ に対応する無限遠における安定な中心の存在を証明すること。
• 初期条件を $\tau = -1000$ で設定し、$\Phi(-1000)$ を変化させ、$\dot{\Phi}(-1000) = 0$ とすることで、系の数値的統合。
• 不変宇宙論的加速度 $\Omega = 1 + h'/h^2$ 及びその時間平均形 $\overline{\Omega} = 1 + \frac{1}{\Delta\tau}\left(\frac{1}{h(\tau)} - \frac{1}{h(\tau + \Delta\tau)}\right)$ の定義により、巨視的挙動を抽出すること。
• 共形時間 $\tau$ を用い、$t = \tau/m$ のスケーリングにより、不変加速度における微小な振動周期 $T \sim 2\pi/m$（$m$ はスカラー場の質量）を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の巨大スカラー場に基づく宇宙論的系は、無限の未来において安定な漸近的状態を示すか？
• RQ2 Einstein-Klein-Gordon フレームワーク下でのハッブルパラメータおよびスケール因子の長期的挙動は何か？
• RQ3 不変宇宙論的加速度の微小な振動は、宇宙の巨視的進化にどのように影響するか？
• RQ4 宇宙論的加速度を振動周期で平均化することは、滑らかな進化系列を回復するために意味を持つだろうか？
• RQ5 この系は無限の未来に平坦で静的な幾何構造へと進化するのか？そしてこれは宇宙の最終状態に何を示唆するのか？

主な発見

• 動的系は、スカラー場およびその微分がゼロに対応する無限遠における安定な中心を示し、これは漸近的平坦性を示唆している。
• 巨視的宇宙論的加速度 $\overline{\Omega}$ は、インフレーション期に $+1$、非相対論的物質優位期に $-1/2$、超相対論的極限に漸近的に $-1$ へと進化する3つの明確に異なる段階を経る。
• 不変宇宙論的加速度 $\Omega$ は、物理時間において周期 $T \sim 2\pi/m$ の微小な振動を示し、$m$ はスカラー場の質量である。
• 平均宇宙論的加速度 $\overline{\Omega}$ は明確に定義され、滑らかであり、$\tau \to \infty$ のとき $\overline{\Omega} \to -1$ となる。これは超相対論的状態方程式への移行を示している。
• ハッブルパラメータ $H(\tau) \to 0$ およびスケール因子 $a(\tau) \to \text{const}$ が無限の未来に成立し、漸近的平坦性が確認された。
• 数値シミュレーションにより、すべての初期条件が同じ漸近的挙動に収束することが確認され、3段階的進化の普遍性が支持された。