[論文レビュー] Qualitative Analysis and Numerical Simulation of Equations of the Standard Cosmological Model: $\Lambda ot=0$

Yurii Ignat’ev|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Material Science and Thermodynamics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、質量のあるスカラー場とゼロの宇宙定数（Λ = 0）を持つ標準的宇宙論モデルの定性的および数値的挙動を調査する。力学系理論と数値シミュレーションを用いて、位相空間（Φ, Φ̇）における原点に安定した中心が存在することを示し、平均値が−1/2である周期的で振動する宇宙論的加速をもたらす。これは、遅い宇宙における長期間にわたる非相対論的時代を自然に支持することを示唆する。結果から、Λがなくても、モデルは平坦で安定的かつ非相対論的な遅い宇宙を自然に支持することが示唆される。

ABSTRACT

On the basis of qualitative analysis of the system of differential equations of the standard cosmological model it is shown that in the case of zero cosmological constant this system has a stable center corresponding to zero values of potential and its derivative at infinity. Thus, the cosmological model based on single massive classical scalar field in infinite future would give a flat Universe. The carried out numerical simulation of the dynamic system corresponding to the system of Einstein - Klein - Gordon equations showed that at great times of the evolution the invariant cosmological acceleration has an oscillating character and changes from $-2$ (braking), to $+1$ (acceleration). Average value of the cosmological acceleration is negative and is equal to $-1/2$. Oscillations of the cosmological acceleration happen on the background of rapidly falling Hubble constant. In the case of nonzero value of the cosmological constant depending on its value there are possible three various qualitative behavior types of the dynamic system on 2-dimensional plane $(\Phi,\dot{\Phi})$, which correspond either to zero attractive focus or to stable attractive knot with zero values of the potential and its derivative. Herewith the system asymptotically enters the secondary inflation. Carried out numerical simulation showed that at cosmological constant $\Lambda<m^2 3\cdot10^{-8}$ the macroscopic value of the cosmological acceleration behaves itself similar to the case $\Lambda=0$, i.e. in the course of the cosmological evolution there appears a lasting stage when this value is close to $-1/2$ which corresponds to non-relativistic equation of state. In this article, the results of qualitative and numerical analysis, obtained in Yu. Ignat'ev, arXiv:1609.00745 [gr-qc], common to the case of a non-zero cosmological term.

研究の動機と目的

• 宇宙定数が存在しない場合（Λ = 0）のアインシュタイン＝クライン＝ゴルドン系の定性的挙動を分析すること。
• 単一の質量のあるスカラー場を有する宇宙論モデルが、平坦で安定的かつ非相対論的な遅い宇宙を生じるかどうかを調査すること。
• Λ = 0 の下でスケール因子、ハッブルパラメータ、宇宙論的加速の長期的ダイナミクスを特定すること。
• 遅い宇宙の進化における非相対論的状態方程式の出現を探索すること。
• 宇宙定数が非常に小さいが非ゼロ（Λ ≲ 3×10⁻⁸）の場合に、結果の頑健性を評価すること。

提案手法

• コンプトン時間スケーリング（τ = mt）を用いて、アインシュタイン＝クライン＝ゴルドン系を変数（Φ, Z = Φ̇）における次元なしの自己同調的力学系に簡略化した。
• 常微分方程式の定性的理論を適用し、特異点の分類と安定性の特定（例：中心、スパイラル、ノード）を実施した。
• 不変の宇宙論的加速 Ω(τ) = 1 + H′ₘ/H²ₘ を導出し、数値積分を用いてその振動的挙動を分析した。
• 長時間スケール（τ ≈ 1000–10000）における数値シミュレーションを実施し、Φ, Z, Hₘ, a(τ), および Ω(τ) の時間発展を追跡した。
• N周期分の時間平均（Δτ = N·2π）を定義し、長期的傾向を抽出した。
• 位相平面解析を用いて、Λₘ = 0 および小さなΛₘ値を含むさまざまなΛₘ値における（Φ, Z）平面での挙動を分類した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Λ = 0 の標準的宇宙論モデルの力学系は、位相空間（Φ, Φ̇）に安定した中心を有するか？
• RQ2 Λ = 0 の場合における宇宙論的加速Ω(τ)の長期的挙動は何か？また、非ゼロの平均値を有する振動を示すか？
• RQ3 このモデルは、宇宙定数が存在しない状況でも、長期間にわたる非相対論的時代（w ≈ 0）を自然に生じるか？
• RQ4 宇宙定数が非常に小さいが非ゼロ（Λₘ ≲ 3×10⁻⁸）の場合、系はどのように振る舞うか？
• RQ5 小さなΛの場合に、時間平均宇宙論的加速Ω̄(τ)は遅い宇宙極限で定数値に収束するか？

主な発見

• Λ = 0 の場合、系は（Φ, Φ̇） = （0, 0）に唯一の安定した中心を有し、位相空間内で周期的かつ有界な振動を示す。
• 不変の宇宙論的加速Ω(τ)は、τにおいて約2πの周期で持続的な振動を示し、−2（減速）から+1（加速）の範囲をとる。
• 時間平均宇宙論的加速Ω̄(τ)は、長期間にわたり−1/2に収束し、非相対論的状態方程式（w = 0）に対応する。
• 小さなΛₘ ≤ 3×10⁻⁸の場合、系の長期的挙動はΛ = 0の場合とほぼ同一であり、平均加速は−1/2のままである。
• ハッブルパラメータHₘ(τ)は時間とともに急速に減少するが、スケール因子a(τ)は超指数関数的に増加し、τ ≈ 10⁴でln a(τ)が最大で約9566に達する。
• Λₘ > 4/3 の場合、系は原点に安定なノードに遷移し、デ de Sitter に類似した状態への漸近的到達を示すが、観測されたΛの物理的に関連する範囲外である。