[論文レビュー] Quantisation of derived Poisson structures

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全な余接複体を備えた導来アーティン $n$-スタック上の $0$-シフトされたポisson構造に対して、Hochschild複体上の反対合と $E_2$-オペラッドの形式的性を、偶数のアソシエーターを介して用いることで、曲がった $A_{\infty}$-変形量子化の存在を確立する。主な結果は、Kontsevichの量子化の一般化であり、特異的かつ導来的状況、例えばLCI特異点をもつスキームや $\mathcal{C}^\infty$ および解析的スタックを含む。

ABSTRACT

We prove that every $0$-shifted Poisson structure on a derived Artin $n$-stack admits a curved $A_{\infty}$ deformation quantisation whenever the stack has perfect cotangent complex; in particular, this applies to LCI schemes, where it gives a DQ algebroid quantisation. Whereas the Kontsevich--Tamarkin approach to quantisation for smooth varieties hinges on invariance of the Hochschild complex under affine transformations, we instead exploit the observation that the Hochschild complex carries an anti-involution, and that such anti-involutive deformations of the complex of polyvectors are essentially unique. We also establish analogous statements for deformation quantisations in $\mathcal{C}^{\infty}$ and analytic settings.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体を超えて特異的かつ導来的代数的スタックへの変形量子化の拡張を図ること。
• 完全な余接複体を備えた導来アーティンスタック上の $0$-シフトされたポアソン構造の量子化という、長年の未解決問題を解決すること。
• $\mathcal{C}^\infty$ および解析的設定において類似の量子化結果を確立すること。
• LCIスキームやより一般的な導来スタックへ、DQアレブロイド量子化を一般化すること。
• Hochschild複体と多ベクトル形式複体の反対合変形を統一的枠組みで扱う。

提案手法

• CDGAのHochschild複体に、反対代数関手によって誘導される反対合を用いる。
• 偶数のアソシエーターを介して $E_2$-オペラッドの形式的性を適用し、多微分作用素の $P_2$-代数の反対合変形を構成する。
• 多ベクトル形式複体と多微分作用素複体が擬同型であるとき、このような反対合変形の本質的同型性を確立する。
• Tate実現を用いて、アーティンスタックの多ベクトル形式とHochschild複体を定義する。
• スタック的設定における反対合変形を制御するための中間圏を導入し、全射関手を因数分解する。
• エタール関手性とホモトピー極限を用いて、局所的量子化を完全複体のグローバルな $A_{\infty}$-変形に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な余接複体を備えた導来アーティン $n$-スタック上の $0$-シフトされたポアソン構造は、常に曲がった $A_{\infty}$-変形量子化をもつか？
• RQ2 Kontsevich–Tamarkinの量子化アプローチは、特異的かつ導来的代数的スタックへ拡張可能か？
• RQ3 $\mathcal{C}^\infty$ および解析的設定において、同様の量子化結果が得られるか？
• RQ4 多ベクトル形式複体と多微分作用素複体が擬同型であるとき、Hochschild複体の反対合変形は本質的に一意的か？
• RQ5 完全な余接複体条件のもとで、導来アーティンスタックの射における $1$-シフトされたコアイソトロピック構造は、同様に量子化可能か？

主な発見

• 完全な余接複体を備えた導来アーティン $n$-スタック上の $0$-シフトされたポアソン構造は、偶数のアソシエーターを介して曲がった $A_{\infty}$-変形量子化をもつ。
• この構成により、$0$-シフトされたポアソン構造の空間から、自己双対的 $E_1$-量子化の空間への写像が得られる。
• LCIスキームの場合、この結果はDQアレブロイド量子化を回復し、滑らかな多様体への既存の結果を拡張する。
• この量子化は、dg完全複体上の双対関手 $\mathscr{H}\!\mathit{om}_{\mathscr{O}_{\mathfrak{X}}}(-,\mathscr{O}_{\mathfrak{X}})$ に関して $\hbar$-半線形に反対合的である。
• この方法は、完全な余接複体を備えた導来 $\mathcal{C}^\infty$ および解析的アーティン $n$-スタックに対しても、そのまま適用可能である。
• $1$-シフトされたコアイソトロピック量子化の証明は、同じ完全な余接複体条件のもとで、導来アーティンスタックの射へ拡張可能である。