[論文レビュー] Deformation quantisation for (-1)-shifted symplectic structures and vanishing cycles

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、導来アーティン $N$-スタック上の $(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造に対して $E_0$-量子化を導入し、量子化からド・ラームコホロロジーにおけるべき級数への写像を構成する。双対線束の平方根が存在する場合、自己双対量子化と偶数次べき級数の間の同型を確立し、局所化が消失サイクルの perverse sheaf を回復することを示し、ドナルドソン–トーマス不変量の導来圏化を提供する。

ABSTRACT

We formulate a notion of $E_0$ quantisation of $(-1)$-Poisson structures on derived Artin $N$-stacks, and construct a map from $E_0$ quantisations of $(-1)$-shifted symplectic structures to power series in de Rham cohomology. For a square root of the dualising line bundle, this gives an equivalence between even power series and self-dual quantisations. In particular, there is a canonical quantisation of any such square root, which localises to recover the perverse sheaf of vanishing cycles on derived DM stacks, thus giving a form of derived categorification of Donaldson--Thomas invariants.

研究の動機と目的

• 導来アーティン $N$-スタック上の $(-1)$-シフトされたポisson構造に対する $E_0$-量子化を定式化すること。
• $(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造の $E_0$-量子化からド・ラームコホロロジーにおけるべき級数への写像を構成すること。
• 双対線束の平方根が存在する場合、自己双対量子化と偶数次べき級数の間の同型を確立すること。
• 導来DMスタック上での標準的 $E_0$-量子化の局所化が、消失サイクルの perverse sheaf を回復することを示すこと。
• この量子化フレームワークを通じて、ドナルドソン–トーマス不変量の導来圏化を提供すること。

提案手法

• 線分束上の微分作用素環の完備化環におけるMaurer–Cartan要素として $E_0$-量子化を定義し、$(-1)$-シフトされたポisson構造を上昇する。
• ド・ラーム代数から $\mathscr{D}_A[[\hbar]]$ への $A_\frown$-準同型 $\mu(-,\Delta)$ を構成し、前シンプレクティック構造との整合性を定義する。
• べき級数 $\omega$ と $E_0$-量子化 $\Delta$ の整合性を、条件 $\mu(\omega,\Delta) \simeq \hbar^2 \frac{\partial \Delta}{\partial \hbar}$ を用いて導入する。
• $\mathscr{D}_X$ 上のフィルター付き $\hbar$-adic完備化と順序フィルターを用い、非退化量子化を一次の問題に還元する。
• グロテンディーク–ベルデュアルティーを用い、$\mathscr{L}$ が双対線束 $\omega_X$ の平方根である場合に自己双対量子化を定義する。
• 量子マスター方程式と $BV_\infty$-代数構造を用いて、$(-2)$-シフトされたシンプレクティック構造およびより高いシフトへ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来アーティン $N$-スタック上の $(-1)$-シフトされたシンプレクティック構造に対して、$E_0$-量子化はどのように定式化できるか？
• RQ2 $E_0$-量子化とド・ラームコホロロジーにおけるべき級数の関係は何か？
• RQ3 線束 $\mathscr{L}$ の自己双対性が $E_0$-量子化の空間に与える影響は何か？
• RQ4 標準的 $E_0$-量子化の局所化は、消失サイクルの perverse sheaf を回復できるか？
• RQ5 このフレームワークは、ドナルドソン–トーマス不変量の導来圏化をどのように提供するか？

主な発見

• 任意の導来 $(-1)$-シフトされたシンプレクティックスタック上の双対線束の平方根に対して、標準的 $E_0$-量子化が存在する。
• 自己双対 $E_0$-量子化の空間は、$\hbar^2 \mathrm{H}^1_{\mathrm{dR}}(X)\llbracket \hbar^2 \rrbracket$ に自然に同型である。
• 整合性条件 $\mu(\omega,\Delta) \simeq \hbar^2 \frac{\partial \Delta}{\partial \hbar}$ により、非退化量子化が前シンプレクティック構造に対応することが保証される。
• $\hbar$ における標準的量子化の局所化は、導来DMスタック上での消失サイクルの perverse sheaf $\mathcal{P}\mathcal{V}$ を回復する。
• $(-2)$-シフトされたシンプレクティック構造に対しては、$BV_\infty$-代数と量子マスター方程式を用いて構成を拡張できる。
• $E_{n+1}$-オペラドのフォーマリティにより、$n \geq -2$ の $n$-シフトされたシンプレクティック構造へ一般化可能であり、自己双対量子化は $\hbar^2$ における偶数次べき級数に対応する。