[論文レビュー] Quantitative bounds for Gowers uniformity of the Möbius and von Mangoldt functions

Terence Tao, Joni Teräväinen|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、区間 [N] 上におけるメビウス関数およびvon Mangoldt関数のガウス一様性ノルムに対して、すべての $ k \geq 1 $ に対して、$ O((\log\log N)^{-c}) $ の形をした誤差項を伴う有効的かつ定量的な上限を確立する。これらの上限により、素数における有限複雑度の線形系の解の数に対する初めての定量的制御が可能となり、また、シフトされた素数差をとる $ k $ 項の等差数列を含まない集合のサイズに対する初めての有効的上限が得られる。

ABSTRACT

We establish quantitative bounds on the $U^k[N]$ Gowers norms of the Möbius function $μ$ and the von Mangoldt function $Λ$ for all $k$, with error terms of shape $O((\log\log N)^{-c})$. As a consequence, we obtain quantitative bounds for the number of solutions to any linear system of equations of finite complexity in the primes, with the same shape of error terms. We also obtain the first quantitative bounds on the size of sets containing no $k$-term arithmetic progressions with shifted prime difference.

研究の動機と目的

• すべての $ k \geq 1 $ に対して、メビウス関数およびvon Mangoldt関数の $ U^k[N] $ ガウス一様性ノルムに対する有効的かつ定量的な上限を確立すること。
• 以前の無効または定性的な結果を改善する形で、$ O((\log\log N)^{-c}) $ の形をした明示的な誤差項を提供すること。
• これらの上限を用いて、素数における有限複雑度の線形系の解の数に対する定量的漸近展開を導出すること。
• 差がシフトされた素数である $ k $ 項の等差数列を含まない集合のサイズに対する、初めての有効的かつ定量的な上限を得ること。

提案手法

• von Mangoldt関数の主要項としてのCramérモデル $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $（$ w = \log^{1/100}N $）を用い、擬似乱数性を制御する。
• 円周法を用い、指数和の推定とプランシュレ恒等式を組み合わせて $ U^k[N] $ ノルムを制御する。
• ガウスノルムの逆予想およびメビウス関数のニルシグマに沿った強い直交性を用いる。
• ニルマンイド上での多項式系列の分解定理を用い、乗法的関数を構造的および乱雑な成分に分解する。
• 三角不等式およびガウスノルムの安定性推定を用いて、$ \Lambda $ とそのCramér近似を比較する。
• スieve理論的技法およびメビウスの擬似乱数性原理を用いて、$ U^k $ ノルムにおける誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ k \geq 1 $ に対して、ガウス一様性ノルム $ \|\mu\|_{U^k[N]} $ および $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} $ に対して有効的かつ定量的な上限を確立できるか？
• RQ2 このような上限における最良の誤差項は何か？ また、$ O((\log\log N)^{-c}) $ の形にできるか？
• RQ3 これらの上限を用いて、素数における有限複雑度の線形系の解の数を定量的に制御できるか？
• RQ4 差がシフトされた素数である $ k $ 項の等差数列を含まない集合のサイズに対する、初めての有効的かつ定量的な上限を得られるか？

主な発見

• 本稿は、すべての $ k \geq 1 $ に対して $ \|\mu\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $ および $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $ を確立し、$ k $ に依存する有効な定数を伴う。
• これらの上限により、素数における有限複雑度の線形系の解の数に対する、初めての有効な誤差項 $ O((\log\log N)^{-c}) $ が得られる。
• 本稿は、差が素数 $ p $ に対して $ p-1 $ の形である $ k $ 項の等差数列を含まない $[N]$ の部分集合のサイズに対する、初めての定量的上限を得る。
• 結果は、メビウス関数のニルシグマに沿った強い直交性およびガウスノルムの逆予想の解決に依存する。
• 誤差項 $ O((\log\log N)^{-c}) $ は有効的であり、指数和の推定、スieve理論、および円周法の組み合わせから生じる。
• 解析により、von Mangoldt関数が、$ w = \log^{1/100}N $ を用いたCramérモデル $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $ により、提示された誤差の範囲内で $ U^k[N] $ ノルムにおいて良好に近似可能であることが示される。