[論文レビュー] Quantitative estimates for regular Lagrangian flows with $BV$ vector fields

Quoc‐Hung Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d) + L^\infty(\mathbb{R}^d))$ に属するベクトル場に対して、成分が $BV$ 関数との畳み込みである singular カーネルを持つもので、発散条件を満たすものについて、正則ラグランジュ流の定量的推定を確立する。これらの条件下で流れの適切性を証明し、2次元における特定の $BV$ ベクトル場に対して、正則ラグランジュ流の非一意性を示す反例を構成する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of flows associated to non-smooth vector fields. We prove the well-posedness of regular Lagrangian flows associated to vector fields $\mathbf{B}=(\mathbf{B}^1,...,\mathbf{B}^d)\in L^1(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d)+L^\infty(\mathbb{R}^d))$ satisfying $ \mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i*b_j,$ $b_j\in L^1(\mathbb{R}_+,BV(\mathbb{R}^d))$ and $\operatorname{div}(\mathbf{B})\in L^1(\mathbb{R}_+;L^\infty(\mathbb{R}^d))$ for $d,m\geq 2$, where $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$ are singular kernels in $\mathbb{R}^d$. Moreover, we also show that there exist an autonomous vector-field $\mathbf{B}\in L^1(\mathbb{R}^2)+L^\infty(\mathbb{R}^2)$ and singular kernels $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$, singular Radon measures $μ_{ijk}$ in $\mathbb{R}^2$ satisfying $\partial_{x_k} \mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i\starμ_{ijk}$ in distributional sense for some $m\geq 2$ and for $k,i=1,2$ such that regular Lagrangian flows associated to vector field $\mathbf{B}$ are not unique.

研究の動機と目的

• 非滑らかなベクトル場 $B \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d) + L^\infty(\mathbb{R}^d))$ に対して、成分が $BV$ 関数との singular 積分として表される正則ラグランジュ流の定量的推定を確立すること。
• ベクトル場およびその発散に関するこれらの構造的仮定の下で、正則ラグランジュ流の適切性を証明すること。
• 2次元において、$L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$ に属するが、その微分が singular Radon 測度の singular 積分として表されるベクトル場に対して、正則ラグランジュ流の非一意性を示す反例を構成すること。

提案手法

• Kakeya 型最大 singular 積分作用素の精密な解析を用いて、流れの正則性および再正規化枠組みにおける交換子を制御する。
• 2つの流れ間の対数的距離を測る時間依存関数 $\Phi_\delta(t)$ を導入し、Hardy-Littlewood 最大関数を用いて定量的推定を導出する。
• ベクトル場の singular 部分 $DsB$ の構造に適合した特別な正則化カーネル $\rho$ を用い、$\text{trace}(M(x))|DsB|(x) = 0$ のとき、欠損測度 $\sigma$ が消えることを保証する。
• singular カーネルおよび Radon 測度の新規な構成を用いて、その微分が測度の singular 積分作用素として表されるベクトル場を実現し、反例を構築する。
• $L^p$ ($p > 1$) 上での最大関数の有界性および流れのヤコビアン行列式の構造を用いて、流れの差の成長を制御する。
• dyadic 分解およびレベル集合の layer-cake 分解を用いて、2つの流れが発散する集合の測度を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散が $L^1$ である $BV$ 型成分をもつベクトル場 $B$ に対して、どのような構造的仮定の下で正則ラグランジュ流が一意的に適切に定義されるか？
• RQ2 $BV$ 環境下で、最大関数および singular 積分作用素を用いて、2つの流れの差に対する定量的推定を導出可能か？
• RQ3 $L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$ に属する $BV$ 型構造を持つベクトル場を構成し、その関連する正則ラグランジュ流が一意でないことは可能か？
• RQ4 singular 部分 $DsB$ の構造が、交換子の収束および欠損測度 $\sigma$ の消滅に果たす役割は何か？
• RQ5 Kakeya 型最大 singular 積分作用素は、$BV$ 環境下でどのように流れの正則性を制御するか？

主な発見

• 次元 $d, m \geq 2$ において、$B = (B_1, \dots, B_d)$ が $B_i = \sum_{j=1}^m K_j^i * b_j$, $b_j \in L^1(\mathbb{R}_+; BV(\mathbb{R}^d))$, および $\text{div}(B) \in L^1(\mathbb{R}_+; L^\infty(\mathbb{R}^d))$ を満たす場合、正則ラグランジュ流の適切性が確立される。
• 本稿は、$\partial_{x_k} B_i = \sum_{j=1}^m K_j^i * \mu_{ijk}$ （分布的意味で）を満たす、$L^1(\mathbb{R}^2) + L^\infty(\mathbb{R}^2)$ に属する自己同様のベクトル場 $B$ を構成し、関連する正則ラグランジュ流が一意でないことを示している。
• 反例は、円周上での同次的 $L^\infty \cap BV$ 関数 $\tilde{\Omega}_j$ を構成することに依拠しており、$R_j^2((\chi_{|x|} - \chi_{|x|/2})\nu)(x) = \tilde{\Omega}_j(x)/|x|^2$ を満たし、$S^1$ 上で平均がゼロで、同次的（次数 $-2$）である。
• 非一意性の証明は、微分の singular 部分 $DsB$ が非ゼロであるが、singular カーネルの方向へのトレースがゼロであることに依拠しており、これにより非滑らかさにもかかわらず欠損測度 $\sigma$ が消滅する。
• 時間依存関数 $\Phi_\delta(t)$ を用いた定量的推定により、$L^d(\{x \in B_R : |X_1(t,x) - X_2(t,x)| > \delta^{1/2}\}) \lesssim |\log \delta|^{-1}$ が得られ、$\delta \to 0$ のとき一意性が示唆される。
• 本手法は、流れの方向に沿った局所的仮定の下で、2次元における $L^1(BV)$ ベクトル場へと拡張可能であり、De Lellis-Crippa のアプローチが微分の singular 部分を制御できないことを示している。