[論文レビュー] Quantization and ``theta functions''

Andrei Tyurin|ArXiv.org|Apr 11, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、幾何学的量子化を用いて、アーベル多様体およびK3曲面上の高ランクベクトル束への古典的シータ関数の一般化を試み、 conformal block 空間における特別な基底を構成する。これはムーディのシータ関数理論をホロモルフィック幾何学を用いて拡張し、 conformal field theory と代数幾何学を統合する枠組みを提供し、ミラー対称性のための新しい道具をもたらす。

ABSTRACT

Geometric Quantization links holomorphic geometry with real geometry, a relation that is a prototype for the modern development of mirror symmetry. We show how to use this treatment to construct a special basis in every space of conformal blocks. This is a direct generalization of the basis of theta functions with characteristics in every complete linear system on an Abelian variety (see Mumford's "Tata lectures on theta" cite(Mumford)). The same construction generalizes the classical theory of theta functions to vector bundles of higher rank on Abelian varieties and K3 surfaces. We also discuss the geometry behind these constructions.

研究の動機と目的

• アーベル多様体上の特性付き古典的シータ関数理論を、高ランクベクトル束へと拡張すること。
• 幾何学的量子化を用いて、conformal block 空間における正規基底を構成すること。
• 現代のミラー対称性をモデル化できるように、ホロモルフィック幾何と実幾何を統合すること。
• K3曲面およびアーベル多様体上の高ランク設定へと、ムーディの「Tata lectures on theta」を一般化すること。
• ホロモルフィック線束および射影幾何学を通じて、conformal block を幾何学的に理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• ホロモルフィック幾何と実幾何を結ぶ幾何学的量子化を用い、構成の基盤を形成する。
• 代数幾何における conformal block の理論を適用し、自然な基底を備えたベクトル空間を定義する。
• 特性付きシータ関数に類似した特別な基底を、高ランクベクトル束において構成する。
• ホロモルフィック線束および射影埋め込みを用いて、古典的シータ線束構成を一般化する。
• アーベル多様体およびK3曲面の幾何を用いて、古典的シータ関数枠組みを線束を超えて拡張する。
• 完全線形系およびベクトル束のモジュライの技術を用い、代数幾何学的手法により、基底が正規的かつ幾何学的に意味を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体上の古典的シータ関数理論を、高ランクベクトル束へとどのように一般化できるか？
• RQ2 高ランク設定における conformal block の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 幾何学的量子化が、conformal block 空間における正規基底をどのように提供するか？
• RQ4 K3曲面およびアーベル多様体は、線束を超えた一般化されたシータ関数理論をどのように支えるか？
• RQ5 ホロモルフィック幾何がこのような基底を構成する役割を果たすのはどのような点か？また、ミラー対称性とどのように関係するか？

主な発見

• 本論文は、すべての conformal block 空間において、アーベル多様体上の特性付きシータ関数の基底に類似した正規基底を構成する。
• この基底は幾何学的量子化から自然に生じ、代数幾何学におけるホロモルフィック構造と実構造を結ぶ。
• この構成は、アーベル多様体およびK3曲面上の高ランクベクトル束へとムーディのシータ関数理論を一般化する。
• ホロモルフィック線束および射影幾何学を用いた古典的シータ関数の直接的な一般化を提供する。
• この枠組みは、代数幾何学に根ざし、ミラー対称性の原則と整合する、conformal block の新しい幾何的解釈を提供する。
• 結果として、統一的かつ幾何学的に自然な構成を通じて、conformal field theory と代数幾何学の橋渡しを確立する。