[論文レビュー] Quantization of classical integrable systems. Part II: quantization of functions on Poisson manifolds

Massimo Marino, N. N. Nekhoroshev|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポisson多様体上の対称化作用素による量子化を用いて、準可積分的量子系を構築するための十分条件を確立する。古典的可積分系が、ポアソン括弧に関して有限次元リーダイクス代数をなす関数から構成される場合——特に正準座標に関する線形または二次多項式の場合——に対し、対称化は可換関係を保存し、$α\to 0$ の極限を経由せずに正確な量子化を可能にする。

ABSTRACT

In a previous work we have introduced the concept of quasi-integrable quantum system. In the present one we determine sufficient conditions under which, given an integrable classical system, it is possible to construct a quasi-integrable quantum system by means of a quantization procedure based on the symmetrized product of operators. This procedure will be applied to concrete classes of integrable systems in two following papers.

研究の動機と目的

• 古典的可積分系がポアソン多様体上に存在する場合、その対称化作用素積を用いた正確な量子化が可能となる数学的条件を確立すること。
• 古典的保存量がポアソン括弧に関して有限次元リーダイクス代数をなす関数の有限集合に関する多項式である場合に、準可積分的量子系の概念を拡張すること。
• 量子作用素の交換子が古典関数のポアソン括弧と一致するように、$\hbar$ に依存する補正項を含まない正確な量子化フレームワークを提供すること。
• 線形および二次作用素にとどまらず、非線形な交換関係を含む作用素代数への一般化を図ること。
• 指数関数など非多項式関数を含む物理系に対応するため、可換部分代数と作用素上の関数計算を導入すること。

提案手法

• 作用素の結合代数において、$\mathcal{A} \diamond \mathcal{B} = \frac{1}{2}(\mathcal{A}\mathcal{B} + \mathcal{B}\mathcal{A})$ として対称化積を定義し、関数の古典的積を一般化する。
• 線形演算を保存するように、古典関数 $P(B)$ と非可換多項式 $P^{\text{sym}}(\hat{B})$ の間の対応を構築する。
• $B = (B_1, \dots, B_l)$ に対して、$\{B_i, B_j\} = c_{ij}$（定数構造定数）またはより一般に $\{B_i, B_j\} = c_{ij}(D)$ となる条件を課し、代数がポアソン括弧に関して有限次元的かつ閉じていることを保証する。
• 古典的保存量 $F_j = P_j(B)$ が $B$ に関する線形または二次多項式である場合、その対称化量子化 $\hat{F}_j = P_j^{\text{sym}}(\hat{B})$ が $[\hat{F}_i, \hat{F}_j] = \widehat{\{F_i, F_j\}}$ を正確に満たすことを証明する。$\hbar$ に依存する補正項は存在しない。
• 準可積分性の概念を用いる：作用素の集合が準可積分的であるとは、その記号が古典的に可積分系をなし、中心的演算子の主要記号が再び中心的であることを意味する。
• 非多項式関数（例：$f(x)$、$\exp(ip)$）を扱うために、可換部分集合 $\tilde{\mathcal{B}}^i \subseteq \mathcal{B}$ 上の関数計算を導入し、$f(\tilde{\mathcal{B}}^i)$ を、互いに可換であり、適切な $\mathcal{B}_j$ とも可換となる作用素として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン多様体上の古典関数の対称化量子化が、ポアソン括弧の代数的構造を交換関係として正確に保存するのはどのような条件下か？
• RQ2 第一保存量 $F_j = P_j(B)$ が多項式である古典的可積分系が、正確に準可積分的量子系に量子化可能となる条件は何か？
• RQ3 関数 $B$ が生成するリーダイクス代数の構造定数 $c_{ij}$ が、対称化量子化の一貫性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 指数関数や解析関数など非多項式関数を、対称化フレームワーク内で一貫して量子化するにはどうすればよいか？
• RQ5 作用素の対称化積が、$\hbar$ に依存する補正項なしに、量子化関数の交換関係を正確に再現するのはどのような場合か？

主な発見

• 古典的保存量 $F_j = P_j(B)$ が $B$ に関する線形多項式であり、$B$ が定数構造定数 $c_{ij}$ を持つ有限次元リーダイクス代数を生成する場合、その対称化量子化 $\hat{F}_j = P_j^{\text{sym}}(\hat{B})$ は、$[\hat{F}_i, \hat{F}_j] = \widehat{\{F_i, F_j\}}$ を正確に満たす量子系を生成する。
• $\{B_i, B_j\} = c_{ij}$（定数）の場合、二次多項式 $P_j(B)$ が対称化下でも交換関係を保存するため、線形系にとどまらず、より広い範囲の系に適用可能となる。
• この構成は正確である：$\{A, B\} = C$ ならば常に $[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{C}$ が成り立ち、$\hbar \to 0$ の近似を必要としない。つまり、量子化は漸近的ではなく正確なものである。
• $B$ が $\mathbb{R}^{2n}$ 上の正準座標 $(p, x)$ からなる場合、$p$ と $x$ の任意の多項式の対称化量子化は、その交換関係が古典的ポアソン括弧と正確に一致する量子作用素を生成する。
• 可換部分集合 $\tilde{\mathcal{B}}^i \subseteq \mathcal{B}$ の存在により、非多項式関数 $f$ に対して $f(\tilde{\mathcal{B}}^i)$ を定義でき、$\exp(ip)$ や $f(x)$ の量子化がこの枠組み内で可能となる。
• 系4.6は、$P_j(B)$ の係数が別の集合 $D$ の関数である場合に、$c_{ij}(D)$ が $D$ の関数であり、かつ対称化が作用素代数の構造を尊重する限り、この手法を拡張可能であることを示している。