[論文レビュー] Quantization of conic Lagrangian submanifolds of cotangent bundles

Stéphane Guillermou|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、余接 bundle 内のコンpakto な正確ラグランジュ部分多様体から得られる鋭錐ラグランジュ部分多様体に対して、微局所層理論を用いて標準的な層量子化を構成する。三角圏的軌道カテゴリと微局所的台の技術を用いて、マスロフ類が消えること、底多様体への射影がホモトピー同値であること、相対的スティーフェル＝ウイットニー類が消えることを証明し、層論的手段によって既知のシンプレクティックトポロジー的結果を再現する。

ABSTRACT

Let $M$ be a manifold and $Λ$ a compact exact connected Lagrangian submanifold of $T^*M$. We can associate with $Λ$ a conic Lagrangian submanifold $Λ'$ of $T^*(M imes R)$. We prove that there exists a canonical sheaf $F$ on $M imes R$ whose microsupport is $Λ'$ outside the zero section. We deduce the already known results that the Maslov class of $Λ$ is $0$ and that the projection from $Λ$ to $M$ induces isomorphisms between the homotopy groups.

研究の動機と目的

• コンパクトで正確なラグランジュ部分多様体 $\Lambda \subset T^*M$ から得られる鋭錐ラグランジュ部分多様体のための、微局所層理論を用いたグローバルな層量子化を構成すること。
• マスロフ類の消滅や射影のホモトピー同値性といった既知のシンプレクティックトポロジー的不変量を、層論的手段のみを用いて再現すること。
• 三角圏的軌道カテゴリの枠組みにおいて、一意的（同型を除いて）な量子化を確立すること。
• 微局所モノドロミーとgerbesを用いて、ラグランジュ部分多様体の相対的スティーフェル＝ウイットニー類が消えることを証明すること。

提案手法

• コンパクトで正確なラグランジュ部分多様体 $\Lambda \subset T^*M$ の鋭錐化として、$T^*(M \times \mathbb{R})$ 内に鋭錐ラグランジュ部分多様体 $\Lambda'$ を構成する。
• $\mathsf{D}^b_{\Lambda,+}(\mathbf{k}_{M \times \mathbb{R}})$ 内の層の微局所的台を用いて、零切断を除いて $\mathrm{SS}(F) = \Lambda'$ となる標準的な層 $F$ を定義する。
• 一般性仮説と随伴性の性質を活用して、三角圏的軌道カテゴリの枠組みを用いて、局所的な微局所層をグローバルな対象に貼り合わせる。
• カシワラ＝シャピラのスタックと微局所的gerbesを用いて、モノドロミーとねじれた構造を扱い、ラグランジュ部分多様体全体にわたる一貫性を保証する。
• 関手 $\Psi$ と畳み込みを用いて、微局所化と量子化との関係を確立し、既知の不変量と整合することを示す。
• $\mu\mathrm{hom}$ 関手と双対性を用いて、局所系統への引き戻し関手の完全忠実性および本質的全射性を証明し、ホモトピー同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微局所層理論のみを用いて、$T^*M$ 内のコンパクトで正確なラグランジュ部分多様体の鋭錐化として得られる鋭錐ラグランジュ部分多様体に対して、グローバルな層量子化を構成できるか？
• RQ2 このような量子化の存在が、元のラグランジュ部分多様体 $\Lambda \subset T^*M$ のマスロフ類が消えることを示唆するか？
• RQ3 層論的手段を用いて、射影 $\Lambda \to M$ がホモトピー同値であることを示せるか？
• RQ4 ラグランジュ部分多様体の相対的スティーフェル＝ウイットニー類は消えるか？ そして、これは量子化から導けるか？
• RQ5 三角圏的軌道カテゴリにおいて、量子化は同型を除いて一意的か？

主な発見

• 零切断を除いて $\mathrm{SS}(F) = \Lambda'$ となる標準的な層 $F$ が $M \times \mathbb{R}$ 上に存在し、鋭錐ラグランジュ部分多様体のグローバルな量子化を提供する。
• $\Lambda \subset T^*M$ のマスロフ類が消えることが示され、これは Kragh の結果を層論的手段で再現する。
• 射影 $\Lambda \to M$ はコホモロジーに同型を誘導し、ホモトピー同値である。Fukaya–Seidel–Smith や Abouzaid の結果を確認する。
• ラグランジュ部分多様体の相対的スティーフェル＝ウイットニー類は消える。モノドロミーとねじれた微局所的gerbesを用いて示される。
• 量子化は、同型を除いて一意的であり、任意の2つのような層 $F, F'$ に対して $\mathrm{Hom}(F, F') \simeq \mathbf{k}$ が成り立つ。
• 局所系統上の逆像関手 $\pi_\Lambda^{-1}$ は同値であるため、$\pi_\Lambda$ はホモトピー同値である。