[論文レビュー] Quantization of Gamma-Lie bialgebras

Benjamin Enriquez, Gilles Halbout|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、群作用を備えたリー代数、すなわちΓ-リー双代数を導入し、それに関連するコポisson双代数 $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ の量子化関手を構成する。エティンフォルト＝カジダンの量子化を群作用下のねじれ構造へ拡張することで、ポisson-リー群や拡張されたヴァイル群を備えたカク・ムーディ代数から生じる、より広いクラスのコポisson双代数に対する体系的な量子化手順を確立する。

ABSTRACT

We introduce the notion of Gamma-Lie bialgebra, where Gamma is a group. These objects give rise to cocommutative co-Poisson algebras, for which we construct quantization functors. This enlarges the class of co-Poisson algebras for which a quantization is known. Our result relies on our earlier work, where we showed that twists of Lie bialgebras can be quantized; we complement this work by studying the behavior of this quantization under compositions of twists.

研究の動機と目的

• リー双代数のエティンフォルト＝カジダン量子化を、群Γがリー代数 $\mathfrak{a}$ に作用する設定であるΓ-リー双代数へ一般化すること。
• 群グレーディングと、リー双代数データおよび群ねじれ2次コホモロジーから生じる整合性を持つコポisson構造を備えた、新たなコポisson双代数のクラス $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ を定義すること。
• エティンフォルト＝カジダン関手のねじれの合成における振る舞いを分析することで、群グレーディング双代数への既知のリー双代数の量子化の拡張を達成すること。
• 内自己同型を用いて、直接的量子化と関手的量子化の構成の同値性を示すことにより、クェーシトライアングルΓ-リー双代数に対する一様な量子化フレームワークを提供すること。
• 単純またはカク・ムーディ代数に拡張されたヴァイル群作用を備える場合、$U(\mathfrak{a}) \rtimes \tilde{W}$ の唯一の可能な量子化はマジッド＝ソイベルマン代数であると予想する。これは既知の有限次元の場合の結果を一般化する。

提案手法

• 群作用 $\theta_{\mathfrak{a}}: \Gamma \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{a})$ と、コホモロジー的条件を満たすねじれ写像 $f: \Gamma \to \wedge^2(\mathfrak{a})$ を備えた三重組 $(\mathfrak{a}, \mu_{\mathfrak{a}}, \delta_{\mathfrak{a}})$ として、Γ-リー双代数の概念を導入する。
• 群作用とねじれデータによる余積の変形を経て、スモーズ積 $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ 上にコポisson双代数構造を構成する。
• リー双代数に対するエティンフォルト＝カジダン量子化関手 $Q$ を、写像 $f_{\mathfrak{a}} \mapsto \operatorname{F}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}}) \in Q({\mathfrak{a}})^{\otimes 2}$ を通じてねじれを扱えるように拡張し、コサイクルおよび整合性条件を満たす。
• ねじれの合成を分析する：対 $(f_{\mathfrak{a}}, f'_{\mathfrak{a}})$ に対して、$\operatorname{F}(f_{\mathfrak{a}} + f'_{\mathfrak{a}})$ が $\operatorname{F}({\mathfrak{a}}_{f_{\mathfrak{a}}}, f'_{\mathfrak{a}})$、$\operatorname{F}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}})$、および $\operatorname{v}$ を用いて表現される補正要素 $\operatorname{v}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}}, f'_{\mathfrak{a}})$ を定義し、繰り返しのねじれにおいて一貫性を保証する。
• ドリンフェルトのねじれ $\operatorname{J}(\hbar r_{\mathfrak{a}})$ を用いて、クェーシトライアングルΓ-リー双代数の直接的量子化を構成し、余積を $\Delta = \operatorname{J} \Delta_0 \operatorname{J}^{-1}$ と定義するが、積は変形しない。
• 内自己同型を用いて、完成化されたプロップ $S({\bf qt}_{\Gamma})^{\Gamma}$ 内で、直接的量子化とエティンフォルト＝カジダン関手的構成との同値性を確立する。ねじれの整合性公式を用い、$\operatorname{j}({\mathfrak{a}}, r_{\mathfrak{a}})$ と $\operatorname{v}$ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用を持つ $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ 形式のコポisson双代数に対するエティンフォルト＝カジダン量子化関手をどのように拡張できるか？
• RQ2 写像 $f: \Gamma \to \wedge^2(\mathfrak{a})$ が $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ 上に有効なコポisson構造を定義するために満たすべき条件は何か？
• RQ3 群作用の下で、エティンフォルト＝カジダン量子化関手はねじれの合成においてどのように振る舞うか？
• RQ4 クェーシトライアングルΓ-リー双代数の直接的量子化が、エティンフォルト＝カジダン手法による関手的量子化と同値であることを示せるか？
• RQ5 カク・ムーディ代数 $\mathfrak{a}$ に拡張されたヴァイル群 $\tilde{W}$ が作用する場合、$U(\mathfrak{a}) \rtimes \tilde{W}$ の唯一の可能な量子化はマジッド＝ソイベルマン代数であると予想できるか？

主な発見

• 本稿は、群作用 $\Gamma$ を備えたリー代数 $\mathfrak{a}$ と、整合性を持つねじれ写像 $f: \Gamma \to \wedge^2(\mathfrak{a})$ を備えた、コポisson双代数 $U(\mathfrak{a}) \rtimes \Gamma$ の量子化関手を構成する。
• 著者らは、群作用下でねじれの合成が一貫するように補正要素 $\operatorname{v}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}}, f'_{\mathfrak{a}})$ を導入することにより、エティンフォルト＝カジダン量子化関手がねじれの合成と整合することを証明する。この補正要素により、$\operatorname{F}(f_{\mathfrak{a}} + f'_{\mathfrak{a}})$ が $\operatorname{F}({\mathfrak{a}}_{f_{\mathfrak{a}}}, f'_{\mathfrak{a}})$、$\operatorname{F}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}})$、および $\operatorname{v}$ のねじれ積として表現される。
• クェーシトライアングルΓ-リー双代数の場合、ドリンフェルトのねじれ $\operatorname{J}(\hbar r_{\mathfrak{a}})$ を用いた直接的量子化は、$S({\bf qt}_{\Gamma})^{\Gamma}$ 内の内自己同型を除いて、エティンフォルト＝カジダン関手的構成と同値であることが示される。
• 自然なプロップ準同型 $\operatorname{Bialg}_{\Gamma} \to S({\bf LBA}_{\Gamma})^{\Gamma}$ が確立され、これはΓ-リー双代数の圏から準コクセキューティブ群双代数への量子化関手へと持ち上げられる。
• 著者らは、単純またはカク・ムーディ代数 $\mathfrak{a}$ に拡張されたヴァイル群 $\tilde{W}$ が作用する場合、$U(\mathfrak{a}) \rtimes \tilde{W}$ の唯一の可能な量子化はマジッド＝ソイベルマン代数であると予想する。これは既知の有限次元の場合の結果を一般化する。
• ねじれ変形と量子化写像の整合性を示す公式 $\operatorname{j}({\mathfrak{a}}, r_{\mathfrak{a}} + f_{\mathfrak{a}}) = \operatorname{i}({\mathfrak{a}}, f_{\mathfrak{a}}) \circ \operatorname{j}({\mathfrak{a}}, r_{\mathfrak{a}}) \circ \operatorname{Ad}(\operatorname{v}({\mathfrak{a}}, r_{\mathfrak{a}})^{-1})$ が導出され、ねじれ変形と量子化写像の整合性が裏付けられる。