[論文レビュー] Quantization on space-like surfaces

A. V. Stoyanovsky|ArXiv.org|Sep 27, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Faddeyev変換と呼ばれる発散するユニタリ変換を用いて、任意の空間的超曲面上での量子場理論（QFT）における力学的進化のための数学的枠組みを提案する。各空間的超曲面に関連するヒルベルト空間のバンドル上に平坦で積分可能であるトモナガ＝シュヴィンガー接続を定義することにより、標準的なフォック空間ではユニタリ進化が曲がったカウチー超曲面間で実現できないと示されるTorre–Varadarajanのパラドックスを克服する。このアプローチにより、局所性とポincare対称性を保ちつつ、一般相対性理論や非自明な時空幾何に一般化可能な、一貫性があり、摂動的かつ公理的であるQFTの定式化が可能になる。

ABSTRACT

We give a mathematical definition of dynamical evolution in quantum field theory, including evolution on space-like surfaces, and show its relationship with the axiomatic and perturbative approaches to QFT.

研究の動機と目的

• 任意の空間的超曲面上でのQFTにおける力学的進化の数学的に厳密な定義を、標準的なWightmanおよびWLSZ公理を越えて行うこと。
• 自由スカラー場においてフォック空間上では曲がったカウチー超曲面間のユニタリ進化が実現できないと示されるTorre–Varadarajanのパラドックスを、厳密な枠組み内で解消すること。
• Faddeyev変換を用いて、摂動的QFTと公理的QFTを統合し、正則化された摂動級数からヒルベルト空間とポincare群作用を構成すること。
• 一般相対性理論や一般の擬リーマン多様体と整合する枠組みを確立すること。これには、ヒルベルトバンドル上の平坦で局所的な接続を用いた進化の定式化が含まれる。

提案手法

• 発散するユニタリ作用素 $ U_{\bar{\Lambda}} $ としてFaddeyev変換を導入し、正則化されたハミルトニアン $ \widehat{H}_{\Lambda} + \widehat{H}_{\Lambda}^{ct} $ を正則化することで、有限極限 $ T = \lim_{\Lambda \to \infty} T_{\Lambda} $ を得る。この極限が無限小進化生成子として機能する。
• 各カウチー超曲面 $ C $ に対して、空間的超曲面依存のFaddeyev変換 $ U_{\Lambda}(C) $ を定義し、$ U_{\Lambda}(C) $ 自体が発散する場合でも、変換されたハミルトニアン $ T_{\Lambda}(C) $ が $ \Lambda \to \infty $ で有限極限を持つようにする。
• ヒルベルト空間バンドル $ \mathcal{H}_C $ 上に平坦で積分可能な接続 $ \nabla $ を構成する。ここで各 $ \mathcal{H}_C $ は、$ \Psi|0\rangle = \sum_n \int \psi(s_1,\dots,s_n) \varphi(x(s_1))\cdots\varphi(x(s_n)) ds_1\cdots ds_n |0\rangle $ の形の汎関数の完備化である。
• 接続 $ \nabla $ が真空状態を保存し、ポincare群作用と可換であることを保証することで、グローバルヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ における対称性とユニタリ性を維持する。
• 時間順序指数関数 $ Z(j) = \langle 0| T\exp\left(\int j(x)\varphi(x)dx\right) |0\rangle $ を用いて、グリーン関数の生成関数を定義する。ここで進化作用素は平坦な接続 $ \nabla_j = \nabla + \int j(x(s))\varphi(s)ds $ に対応する。
• 任意の滑らかで compact な台を持つ源 $ j(x) $ に対して $ \nabla_j $ が平坦であることを要求することで、局所性を確立し、グリーン関数の摂動級数が適切に定義され、因果的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の空間的超曲面（曲がったものも含む）上で、標準的なWightman公理を超えて、QFTにおける力学的進化の整合的で数学的に厳密な定義を構築することは可能か？
• RQ2 フォック空間上では曲がったカウチー超曲面間のユニタリ進化が実現できないと示されるTorre–Varadarajanのパラドックスを、厳密な枠組み内でどのように解消できるか？
• RQ3 ヒルベルトバンドル上の幾何的接続を用いて、摂動的正則化されたS行列やグリーン関数を再構成することは可能か？
• RQ4 ヒルベルト空間バンドル $ \mathcal{H}_C $ 上に、真空を保存し、ポincare対称性と可換である平坦で積分可能な接続 $ \nabla $ を定義することは可能か？
• RQ5 提案された枠組みは、任意の滑らかで台がコンパクトな源 $ j(x) $ に対して、変形された接続 $ \nabla_j $ が平坦のまま保たれることを保証するか。これにより、グリーン関数の整合的摂動的構成が可能になるか？

主な発見

• Faddeyev変換により、発散する正則化ハミルトニアンから有限で非有界な進化作用素 $ T = \lim_{\Lambda \to \infty} T_{\Lambda} $ を構成でき、これが時間進化の無限小生成子として厳密に定義される。
• 任意の空間的超曲面 $ C $ に対して、発散するユニタリ作用素 $ U_{\Lambda}(C) $ が存在し、$ U_{\Lambda}(C) $ 自体が収束しなくても、変換されたハミルトニアン $ T_{\Lambda}(C) $ が $ \Lambda \to \infty $ で有限極限を持つ。これにより、$ C $ 上での整合的進化が定義される。
• 異なる超曲面 $ C $ に対するヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_C $ は標準的に同一視できないが、平坦で真空状態とポincare対称性を保存するトモナガ＝シュヴィンガー接続 $ \nabla $ を介して接続される。
• 接続 $ \nabla $ は局所的に平坦である。つまり、任意の滑らかで台がコンパクトな $ j(x) $ に対して $ \nabla_j = \nabla + \int j(x(s))\varphi(s)ds $ が平坦である。これにより、グリーン関数の摂動的構成が適切に定義され、因果的であることが保証される。
• 生成関数 $ Z(j) = \langle 0| T\exp(\int j(x)\varphi(x)dx) |0\rangle $ は、平坦な接続 $ \nabla_j $ に沿った進化作用素として正しく定義され、幾何的枠組みから摂動的QFTが回復される。
• 本枠組みは、WLSZ公理を一般化する。摂動的S行列とグリーン関数を、ヒルベルトバンドル上の幾何的接続に基づく構造に埋め込むことで、一般相対性理論や非自明な時空幾何と整合可能な枠組みを提供する。