[論文レビュー] Quantizations of Hitchin and Beauville-Mukai integrable systems

Benjamin Enriquez, Vladimir Rubtsov|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特徴点をもつ有理曲線上のランク2バンドルに対して、ヒチンとベアヴィル＝ムカイの可積分系の有理同型を量子化する手法を提案する。[11]の構成とガウディンハミルトニアンを用いて、古典的可積分系間の同型を明示的に量子化し、それがスクライニンの変数分離法と整合し、ガウディン構造を介して高ランクへ一般化可能である量子可積分系の同型を誘導することを示す。

ABSTRACT

Spectral transformation is known to set up a birational morphism between the Hitchin and Beauville-Mukai integrable systems. The corresponding phase spaces are: (a) the cotangent bundle of the moduli space of bundles over a curve C, and (b) a symmetric power of the cotangent surface T^*(C). We conjecture that this morphism can be quantized, and we check this conjecture in the case where C is a rational curve with marked points and rank 2 bundles. We discuss the relation of the resulting isomorphism of quantized algebras with Sklyanin's separation of variables.

研究の動機と目的

• ヒチンとベアヴィル＝ムカイの可積分系の間の古典的有理同型が量子化可能であると予想すること。
• 特徴点をもつ有理曲線およびランク2バンドルの特定の場合にこの予想を検証すること。
• 両システムの量子化された代数の間の明示的同型を確立すること。
• 得られた量子同型がスクライニンの変数分離法および臨界レベルにおける conformal block とどのように関係するかを明らかにすること。
• SL_n(C) などの高ランク群への明示的構成の一般化のための枠組みを提供すること。

提案手法

• スペクトル変換とハルトゥビーゼの有理的同型写像を用い、ランク2バンドルのモジュライ空間の余接 bundle 上のヒチン系と、余接曲面の対称冪上のベアヴィル＝ムカイ系を関連付ける。
• 環付きリー代数に関連する次数付きポアソン代数の分数体の間のポアソン同型写像として、古典的同型 GNR を定義する。
• [11]の方法を用いてベアヴィル＝ムカイ系の量子化を構成し、ガウディンハミルトニアンを用いてヒチン系の量子化を行う。
• 定理6.1で、古典的同型 GNR が量子可積分系の同型に引き上げられることを証明する。
• 臨界レベル k = -2 における Sugawara 構成を介して、量子同型と conformal block 間の関係を確立する。
• 評価モジュールとコインvariant空間の表現論的枠組みを用い、量子系とヘッケ代数および中心的作用素との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒチンとベアヴィル＝ムカイの可積分系の間の古典的有理同型が、それらの量子化された代数の間の量子同型に引き上げられるか。
• RQ2 ガウディンハミルトニアン構成は、ランク2、有理曲線の場合のベアヴィル＝ムカイ系の量子化とどのように関係するか。
• RQ3 得られた量子同型はスクライニンの変数分離法とどの程度整合するか。
• RQ4 臨界レベル k = -2 は、量子対応において果たす役割は何か、特に conformal block の文脈で。
• RQ5 ランク2の場合の明示的構成を、SL_n(C) などの高ランク群へ一般化可能か。

主な発見

• ヒチン系とベアヴィル＝ムカイ系の間の古典的同型 GNR が、環付きリー代数に関連する次数付きポアソン代数の間のポアソン同型であることが示された。
• 著者らは、定理6.1で、古典的 GNR 写像を量子化レベルに引き上げる明示的量子可積分系の同型を構成した。
• 量子同型はガウディンハミルトニアンおよび[11]によるベアヴィル＝ムカイ系の量子化を通じて実現され、非可換代数内のそれぞれの可換部分代数の間の対応関係を確立した。
• 得られた量子系は Sugawara 構成を満たし、臨界レベル k = -2 におけるコインvariant空間上に可換作用素族を生成する Sugawara 演算子を持つ。
• 量子同型がスクライニンの変数分離法と整合することが示され、対応の背後にあるより深い代数的幾何的構造が示唆された。
• 構成は、コインvariant空間への単射を通じて conformal block と関係づけられ、ヘッケ代数の商 B/J が量子代数 A_U に埋め込まれた。