[論文レビュー] Quantum adiabatic evolutions that can't be used to design efficient algorithms

Zhaohui Wei, Mingsheng Ying|ArXiv.org|Apr 11, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、初期または最終ハミルトニアンが単純な量子アディアバティックアルゴリズムが、逆指数的最小エネルギーギャップを示すことを示しており、その結果、指数的遅延を示し、効率的な計算には不適切である。著者らは、量子アディアバティック定理を用いて、任意の補間経路であっても、このような進化は多項式時間性能を達成できないことを証明しており、探索問題を含む特定の問題において、効率的な量子加速を排除する。

ABSTRACT

Quantum adiabatic computation is a novel paradigm for the design of quantum algorithms, which is usually used to find the minimum of a classical function. In this paper, we show that if the initial hamiltonian of a quantum adiabatic evolution with a interpolation path is too simple, the minimal gap between the ground state and the first excited state of this quantum adiabatic evolution is an inverse exponential distance. Thus quantum adiabatic evolutions of this kind can't be used to design efficient quantum algorithms. Similarly, we show that a quantum adiabatic evolution with a simple final hamiltonian also has a long running time, which suggests that some functions can't be minimized efficiently by any quantum adiabatic evolution with a interpolation path.

研究の動機と目的

• 初期または最終ハミルトニアンが単純すぎる場合の量子アディアバティックアルゴリズムの性能限界を調査すること。
• 初期または最終ハミルトニアンが単純な場合に、量子アディアバティック進化が古典的関数の最小化に対して効率的な解を提供できるかどうかを特定すること。
• 特定のアディアバティック経路が指数的に小さなエネルギーギャップを引き起こし、効率的なアルゴリズム設計を無効にすることを確立すること。
• 線形補間経路からの結果を任意の連続的補間経路へ一般化すること。
• 量子アディアバティック最適化における最悪ケースのシナリオを特定する理論的根拠を提供すること。

提案手法

• 著者らは、量子アディアバティック定理を適用し、基底状態と第一励起状態の間の最小ギャップが十分に大きくなければアディアバティック進化が保証されないという条件を用いる。
• 最小ギャップを $ g_{\text{min}} = \min_t [E_1(t) - E_0(t)] $ と定義し、ハミルトニアンの変化率を $ D_{\text{max}} = \max_t |\langle E_1,t | \frac{dH}{dt} | E_0,t \rangle| $ と定義する。
• 線形補間経路 $ H(t) = (1-t/T)H_0 + (t/T)H_1 $ の場合、$ g_{\text{min}} $ の下界を導出し、それが $ \frac{2}{2^{n/2 - n/100}} $ より小さいことを示す。
• 任意の連続的補間経路 $ H(t) = f(t)H_0 + g(t)H_1 $ に一般化し、定数 $ c_2 $ に比例する同じギャップの上限を維持する。
• 対称性およびユニタリ変換を用いて、最終ハミルトニアンが単純な射影子であっても、最小ギャップが同じ指数的表現で有界であることを示す。
• 証明は、時間に依存するハミルトニアンの特性多項式を分析し、特定の区間における根を同定することでエネルギーギャップを有界化することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期ハミルトニアンが単純な量子アディアバティックアルゴリズムが、古典的関数の最小化において効率的な性能を達成できるか？
• RQ2 初期または最終ハミルトニアンが単純なアディアバティック進化における最小エネルギーギャップは何か？ そしてそれは実行時間にどのように影響するか？
• RQ3 補間経路の選択が、このようなアディアバティック進化における最小ギャップに影響を与えるか？
• RQ4 このフレームワークを用いて、量子アディアバティックアルゴリズムの最悪ケース性能を有界化できるか？
• RQ5 最終ハミルトニアンが単純な場合に、アディアバティック進化を用いて量子探索で指数的加速を達成できるか？

主な発見

• 初期ハミルトニアンが単純なアディアバティック進化における最小ギャップ $ g_{\text{min}} $ は、$ \frac{2}{2^{n/2 - n/100}} $ で上界が与えられ、これは $ n $ に対して指数的に小さい。
• その結果、必要な進化時間 $ T $ も $ n $ に対して指数的に大きくならなければならないため、このようなアルゴリズムは非効率である。
• 同じ指数的下限が、線形経路に限らず、任意の連続的補間経路に対しても成り立つ。
• 定数 $ c_2 $ を含む一般化がなされ、$ c_1 < f(t) + g(t) < c_2 $ を満たす任意の経路に対して $ g_{\text{min}} < \frac{2c_2}{2^{n/2 - n/100}} $ が成り立つ。
• 最終ハミルトニアンが単純（例えば射影子）の場合にも同様の結果が成り立ち、このような進化も指数的に小さなギャップを示すことが判明した。
• これは、未構造的探索のような問題において、最適な経路選択をしても、量子アディアバティックアルゴリズムが指数的加速を提供できないことを示唆する。