[論文レビュー] Quantum Algorithm for Hilbert's Tenth Problem

Tien D. Kieu|ArXiv.org|Oct 24, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、量子連続変数と断続的摂動を活用することで、古典的計算において決定不能であることが知られているヒルベルトの10番目の問題に対する量子アルゴリズムを提案する。物理的に実現可能であるならば、このアルゴリズムは古典的計算可能性を凌駕し、計算可能性の限界を定義するのは数学的公理だけでなく物理的原理であるという主張により、チューリング＝チャーチの帰命論に挑戦する。

ABSTRACT

We explore in the framework of Quantum Computation the notion of {\em Computability}, which holds a central position in Mathematics and Theoretical Computer Science. A quantum algorithm for Hilbert's tenth problem, which is equivalent to the Turing halting problem and is known to be mathematically noncomputable, is proposed where quantum continuous variables and quantum adiabatic evolution are employed. If this algorithm could be physically implemented, as much as it is valid in principle--that is, if certain hamiltonian and its ground state can be physically constructed according to the proposal--quantum computability would surpass classical computability as delimited by the Church-Turing thesis. It is thus argued that computability, and with it the limits of Mathematics, ought to be determined not solely by Mathematics itself but also by Physical Principles.

研究の動機と目的

• 量子計算が、古典的には計算不能とされる問題、特にヒルベルトの10番目の問題を解けるかどうかを検討すること。
• 物理的原理（数学的公理のみではない）が計算可能性の境界を定義することを提案することで、チューリング＝チャーチの帰命論に挑戦すること。
• 量子断続的摂動と連続変数を用いることで、ヒルベルトの10番目の問題からの還元を通じて、停止問題を原理的に解けることの示唆。
• この量子アルゴリズムが機能するためのハミルトニアンおよびその基底状態を構築する可能性を調査すること。

提案手法

• アルゴリズムは、量子連続変数とユニタリ変換を用い、ディオファントス方程式を解を符号化する基底状態をもつ量子ハミルトニアンに写像する。
• 線形ボゴリューボフ変換を用いて、ハミルトニアンの摂動に用いる基準状態としてコherent状態 |0_c⟩ を定義する。
• 時間に依存するハミルトニアン H(s) によって断続的摂動が支配され、s ∈ [0,1] の範囲で初期の単純なハミルトニアンから最終的な問題ハミルトニアンへと変化する。
• ウィックの定理を適用してハミルトニアンを正規順序に並べた項に分解し、期待値 ⟨c†c⟩ と ⟨c†c†⟩ を用いてエネルギーギャップを推定する。
• エネルギーギャップは、係数の展開から得られる G_i(s) を用いて min_i |G_i(s)| として推定され、断続的摂動時間の指標として機能する。
• 真の基底状態の近似を改善するために、制約条件 u_i(s)、v_i(s) および K_i(s)=0 の下で E_b(s) の数値的最小化を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、古典的計算において決定不能であることが知られているヒルベルトの10番目の問題を解けるか？
• RQ2 連続変数と断続的摂動を用いた量子計算は、チューリング＝チャーチの帰命論が定義する古典的計算可能性の限界を超えることができるか？
• RQ3 その基底状態がディオファントス方程式の解を符号化する物理的ハミルトニアンを構築できるか？
• RQ4 ハミルトニアンのエネルギーギャップは、物理的に現実的な時間スケール内で断続的摂動が可能であるほど十分に大きいと期待できるか？

主な発見

• 物理的に実現可能であるならば、提案されたアルゴリズムはヒルベルトの10番目の問題からの還元を通じて停止問題を解くことができ、量子計算が古典的計算可能性を超える可能性を示唆する。
• エネルギーギャップは、ウィックの定理と正規順序化を適用した後、ハミルトニアン展開の係数から得られる G_i(s) を用いて min_i |G_i(s)| として推定される。
• 線形ボゴリューボフ変換の使用により、真の基底状態を近似する基準状態 |0_c⟩ を構築でき、ギャップ推定が可能になる。
• ハミルトニアン展開における正規順序項を用いることで、高次補正の体系的評価が可能になる。
• 制約条件 u_i(s)、v_i(s) および K_i(s)=0 の下で E_b(s) の数値的最小化を提案することで、基底状態の近似が改善される。
• Fock基底を段階的に拡大してハミルトニアンを切断して数値的対角化することで、エネルギーギャップおよび断続的摂動時間 T に関するさらなる洞察が得られる。