[論文レビュー] Quantum Algorithms for Classical Probability Distributions

Aleksandrs Belovs|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、古典的確率分布へのアクセスのための4つの量子モデルを導入・比較し、2つの分布を区別するための量子クエリ複雑度がΘ(1/dH(p,q))であることを証明しており、古典的手法に比べて2乗の高速化を達成している。主な結果は、逆ヘリンジャ距離を用いたタイトな特徴付けであり、状態生成オракルとγ2-ノルム最適化を用いたアドバーサリーメソッドによって達成された。

ABSTRACT

We study quantum algorithms working on classical probability distributions. We formulate four different models for accessing a classical probability distribution on a quantum computer, which are derived from previous work on the topic, and study their mutual relationships. Additionally, we prove that quantum query complexity of distinguishing two probability distributions is given by their inverse Hellinger distance, which gives a quadratic improvement over classical query complexity for any pair of distributions. The results are obtained by using the adversary method for state-generating input oracles and for distinguishing probability distributions on input strings.

研究の動機と目的

• 量子アルゴリズムが古典的確率分布にアクセスする4つの異なるモデルを形式化・比較すること。
• 2つの古典的確率分布を区別するための量子クエリ複雑度を調査すること。
• すべてのモデルにおいて、ヘリンジャ距離を用いたこの複雑度のタイトな特徴付けを確立すること。
• γ2-ノルムとアドバーサリーメソッドを用いて、分布の区別に効率的な量子アルゴリズムを開発すること。
• 提案手法をアモニチュード増幅やリジェクションサンプリングといった標準的手法と比較すること。

提案手法

• アクセスの4つのモデルを形式化：(i) 入力文字列における頻度、(ii) ∑√pa|a⟩の量子状態準備、(iii) 助け状態とのテンソル積、および (iv) 構造化されたアUX状態を用いた (iii) の洗練版。
• 相対的γ2-ノルム最適化を適用し、アドバーサリーバインドの双対形式を活用してクエリ複雑度の上界を導出する。
• 確率振幅の重み付き重ね合わせとベクトル恒等式を用いた構成により、γ2-ノルムをヘリンジャ距離で上界付ける。
• [12] からの一般化された原始的アドバーサリーバインドを用いて下界を証明し、入力文字列上の分布の区別に特化した形に調整する。
• µpとµqの平面における回転とスケーリングとして行列Gを構築し、∥G ◦ ∆∥を最小化する。これによりヘリンジャ距離と関連付ける。
• 提案手法をアモニチュード増幅やリジェクションサンプリングと比較し、クエリ複雑度においてわずかな改善を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4つの古典的確率分布へのアクセスモデルは、計算能力の観点からどのように関係しているか？
• RQ2 2つの古典的確率分布を区別するための正確な量子クエリ複雑度は何か？
• RQ3 γ2-ノルムを用いて、分布区別のクエリ複雑度のタイトな特徴付けを導出可能か？
• RQ4 提案された量子アルゴリズムは、アモニチュード増幅やリジェクションサンプリングといった標準的手法よりも効率的か？
• RQ5 予想されているように、モデル (i) と (iv) は同値であるか？

主な発見

• 2つの確率分布 p と q を区別するための量子クエリ複雑度はΘ(1/dH(p,q))であり、dH(p,q)はヘリンジャ距離を表す。
• これは古典的手法に比べて2乗の高速化を示しており、古典的手法はΘ(1/dH(p,q)²)のサンプルを必要とする。
• 上界はγ2-ノルム最適化により導出され、重みca = (√pa − √qa)/(√pa + √qa) を用いた構成により、複雑度O(1/dH(p,q))を達成する。
• 下界は一般化されたアドバーサリーバインドを用いて証明され、任意の量子アルゴリズムが少なくともΩ(1/∥G ◦ ∆∥)のクエリを必要とし、∥G ◦ ∆∥ = O(dH(p,q))であることを示す。
• p と q が効率的に処理可能な場合、提案されたアルゴリズムは効率的に実装可能であり、標準的なリジェクションサンプリングやアモニチュード増幅手法を上回る性能を示す。
• 本稿では、モデル (i)、(ii)、(iv) が同値であると予想しているが、これは未解決のままである。