[論文レビュー] Quantum Algorithms for many-to-one Functions to Solve the Regulator and the Principal Ideal Problem

Arthur Schmidt|ArXiv.org|Dec 24, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Shorの枠組みにおける多対一周期関数を活用することで、実二次体数体における regulator 問題および主理想問題をより効率的に解くための量子アルゴリズムを提示する。主な貢献は、理想ではなく、無理数周期関数と縮約された二次形式を用いることで、Hallgrenのオリジナルのアルゴリズムに比べて少なくとも $2\log\Delta$ 量子ビットの削減を達成したことである。非一対一周期性にもかかわらず、定数確率で成功する。

ABSTRACT

We propose new quantum algorithms to solve the regulator and the principal ideal problem in a real-quadratic number field. We improve the algorithms proposed by Hallgren by using two different techniques. The first improvement is the usage of a period function which is not one-to-one on its period. We show that even in this case Shor's algorithm computes the period with constant probability. The second improvement is the usage of reduced forms (a, b, c) of discriminant D with a>0 instead of reduced ideals of the same discriminant. These improvements reduce the number of required qubits by at least 2 log D.

研究の動機と目的

• 実二次体数体における regulator 問題および主理想問題のより効率的な量子アルゴリズムの開発。
• 関数空間と周期構造を再定義することで、既存の量子アルゴリズムの量子ビット要件を削減すること。
• Shorのアルゴリズムが、基本周期上で多対一である関数に対しても、定数確率で正しく周期を計算できることを示すこと。
• Buchmann-Williams暗号方式のような主理想問題に基づく暗号方式の量子耐性を評価するためのより効率的なツールを提供すること。
• これらの技術を類体群の計算や高次数体への拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 関数がその基本周期上で一対一でないが、Shorのアルゴリズムが依然として定数確率で正しい周期を計算できる。
• 縮約された理想の代わりに、$a > 0$ を満たす判別式 $\Delta$ の縮約二次形式 $(a,b,c)$ を用いることで、表現を単純化し、量子ビットのオーバーヘッドを削減する。
• 量子サブルーチンでは、量子フーリエ変換を用いて双対格子ベクトルを計算し、その後、連分数法またはGCDに基づく古典的手法による後処理を行う。
• サンプルされた双対ベクトルを用いて、regulator または理想類距離を推定し、近似精度を向上させるために古典的手法による精錬を適用する。
• モンテカルロ的手法を用いる：失敗確率は有界であるが、成功した場合には出力が正しくかつ古典的に検証可能である。
• 対数近似の事前知識を必要としないように、常に周期的だが多対一である無理数周期関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数がその基本周期上で多対一である場合でも、Shorのアルゴリズムは定数確率で周期を正しく計算できるか？
• RQ2 理想の代わりに縮約二次形式 $(a,b,c)$ を用いることで、数体問題の量子アルゴリズムにおける量子ビット数を削減できるか？
• RQ3 一般化リーマン仮説に依存せずに、regulator 問題および主理想問題を量子多項式時間で解けるか？
• RQ4 この枠組みを、実二次体の類群の計算に拡張できるか、あるいは高次数体に適応できるか？
• RQ5 非単射構造を持つ周期関数を用いた場合、regulator 問題およびPIPを解くために必要な最小限の量子ビットオーバーヘッドは何か？

主な発見

• 本アルゴリズムは、Hallgrenのオリジナルのregulatorおよび主理想問題の量子アルゴリズムに比べ、少なくとも $2\log\Delta$ 量子ビットの削減を達成する。
• Shorのアルゴリズムは、無理数格子上でも周期的であるが多対一の関数に対しても、定数確率で正しい周期を計算できる。
• 本アルゴリズムの成功確率は $2^{-37}$ 以上であり、失敗確率が有界なモンテカルロアルゴリズムであり、解が得られた場合には古典的に検証可能である。
• 理想の代わりに縮約二次形式 $(a,b,c)$ を用いることで、関数表現が単純化され、量子算術の精度要件も低下する。
• 本アルゴリズムは量子多項式時間 $O(\operatorname{polylog}(\log\Delta))$ で実行され、一般化リーマン仮説とは無関係である。
• Buchmann-Williams暗号方式の量子耐性分析が、与えられた形式の主理想性を直接テストできるため、より効率的に行える。